Problème de vecteur colinéaire

[coco76890]

Bonjour a tous, voila j'ai un petit soucis j'ai un exercice de la cned a faire mais je n'arrive pas a les contacter je tombe toujours sur le répondeur ! bref voiola mon soucis.

si ca peut aider je suis en première S et passe en Terminal S spé math ( je ne sais pas si c'est bon choix mais bon...)

le but de l'exercice est de déterminer les valeurs exacte de cos ( pi/5) ; cos (2pi/5) ; cos (3pi/5) et cos(4pi/5)

pour cela je dispose d'un pentagone régulier ABCDE de centre O
je dois tout d'abords démontrer que la sommes vectorielles OB+OE sont des vecteurs colinéraire a OA, ainsi que les vecteurs OC+OD et enfin montrer que la sommes vectorielles OA+OC et OD+OE sont colinéaire a OB mais je pense que c'est 4fois la meme choses

j'ai essaye d'incéré A mais ca me donne OA+AB+OA+AE = 2OA -BA+AE = 2OA-BE
j'ai donc BE et OA perpendiculaires mais la je suis coincé !!

[coco76890]

j'ai une autre question, dans mon exo (la suite) on me demande par la suite de montrer les mesures principale de (OA,OB) (OA,OC) et (OA,OE) dans le repère orthonormé direct (O,OA,OA') ca j'ai réussit, ensuite on me demande d'exprimé cos(4pi/5) en fonction de cos (2pi/5) j'ai réussi également ca fait 2cos²(2pi/5)-1 mais voilka ensuite on me demande en utilisant les question précédente de montrer que l'abscisse du point B est solution de l'équation 4x² + 2x -1 =0 mais j'ai jamais fait ca de ma vie !!!!

[fonfon]

Salut, je te montre pour le debut, je vais me servir des axes de symetries du pentagone regulier.

on a AB=AE de même OB=OE donc on peut en deduire que (OA) est la mediatrice du segment [EB] donc E et B sont symetriques par rapport à (OA) de même pour C et D.

on sait donc que [OB] et [OE] sont symétriques par rapport à (OA) donc est colinéaire à un vecteur directeur de l'axe de symetrie donc par exemple à

tu fais pareil pour la suite mais en utilisant (OB) comme axe de symetrie...


pour la suite ecris les questions suivantes car je pense que tu as dû faire une erreur

[coco76890]

enffet si je comprend bien le point I qui coupe (OA) et (BE) est l'isobarycentre de [BE] mais je comprend pas le truc de symétrie, je ne vois pas comment on peut montrer par symétrie que OB+OE sont colinéaire a OA

Pour la suite de l'exo on me demande de résoudre l'égalité OA+OB+OC+OD+OE=0 donc je pense qu'avec les expressions vecteurs des vecteurs colinéaire je devrais pouvoir réussir seul

Ensuite on me demande de determiner lemesures principale des angles orienté de (OA,OB), (OA,OC) , (OA,OD), et (OA,OE) j'ai donc trouvé

OA, OB = 2pi/5
OA,OC= 4pi/5
OA,OD = -4pi/5
et OA OE = -2pi/5

Ensuite on me demande d'exprimer cos(4pi/5) en fonction de cos (2pi/5)
J'ai donc effectuer l'opération suivante :
cos (4pi/5) = cos (2 * 2pi/5)= cos²(2pi/5) - sin²(2pi/5) (d'après les propriétées)

De plus on sait que sin² 2pi/5 - cos² 2pi/5 =1
donc sin²2pi/5 = 1 - cos² 2pi/5
donc cos² 2pi/5 - 1+cos² 2pi/5 = 2cos² 2pi/5 -1

voila et c'est la qu'on me demande de montrer que l'abscisse B est solution de l'équation 4x² +2x -1 =0

voila, j'espère qu'avec cette aide tu pourras m'éclairer

[pgeod]

Bonjour Coco,

A première vue, ton exercice se décompose en 2 parties :
1° - établir l'égalité vectorielle 0A + 0B + OC + OD + OE = 0
2° - Trouver la valeur de cos (2pi/5)

1° - établir l'égalité vectorielle 0A + 0B + OC + OD + OE = 0

Puisque le point B est symétrique de E par rapport à (OA), alors le vecteur (OB + OE) est colinéaire au vecteur OA;
Puisque le point C est symétrique de D par rapport à (OA), alors le vecteur (OC + OD) est colinéaire au vecteur OA;

On en déduit donc que OA + OB + OC + OD + OE, qui s'écrit également OA + (OB + OE) + (OC + OD), est une combinaison linéaire du vecteur OA, donc il existe k1 de IR tel que OA + OB + OC + OD + OE = k1 OA.

Avec un raisonnement analogue par rapport à (OB), on établit que OA + OB + OC + OD + OE est colinéaire à OB, donc qu'il existe k2 de IR tel que OA + OB + OC + OD + OE = k2 OB.

Et puisque :
OA + OB + OC + OD + OE = k1 OA
OA + OB + OC + OD + OE = k2 OB
alors k1 OA = k2 OB k1 OA - k2 OB = 0 (1)

Or les vecteurs OA et OB étant deux vecteurs libres, l'égalité vectorielle (1) n'est vraie qu'à la condition que k1 = k2 = 0
Par conséquent : 0A + OB + OC + OD + OE = 0

2° - Trouver la valeur de cos (2pi/5)

- Puisque cos2a = 2 cos²a - 1, on a bien cos(4pi/5) = 2 cos²(2pi/5) - 1

- Dans le repère orthonormée (O, OA, OA'), l'égalité vectorielle OA + OB + OC + OD + OE = 0 s'écrit, en projection sur l'axe (O, OA) (axe des abscisses du repère) :

1 + cos(2pi/5) + cos(-2pi/5) + cos(4pi/5) + cos(-4pi/5) = 0 (2)
or puisque cos(a) = cos(-a)
(2) 1 + 2 cos(2pi/5) + 2 cos(4pi/5) = 0
or puisque cos(4pi/5) = 2 cos²(2pi/5) - 1
(2) 4 cos²(2pi/5) + 2 cos(2pi/5) - 1 = 0

Et si l'on pose X = cos(2pi/5), alors (2) 4 X² + 2X - 1 = 0
On en déduit donc que cos(2pi/5) est l'une des solutions
de l'équation du second dégré 4X² + 2 X - 1 = 0.

J'espère que ce début de résolution te permettra de continuer.

...

[coco76890]

Merci beaucoup pour ses informations ,dsl hier je fetais mon anniversaire, aujourdhui je dois garder mon cousin, je reviendrais après demain (demain je rapporte mon cousin) pour revoir tes infos qui m'ont l'air très complètes,

Merci pour cette aide je vous referais signe si je ne comprend toujours pas !
merci encore

[coco76890]

Merci beaucoup, en effet cela m'as bien avancé ! merci pour votre aide, désormais je sais ou m'adressé si j'ai un soucis en mathématique !