Problème de tranformation de coordonnées dans le plan

[Lionel144]

Bonjour,

Je butte sur le problème qui consiste à trouver les coordonnées d'un point S(x,y) à l'intérieur d'une surface décrite par quatre points, S1 à S4, Point S dont la position serait équivalente à celle d'un autre point D(x,y), donné, dans une autre surface décrite par quatre autres points D1 à D4.
J'y arrive à l'aide d'équations trigonométriques si la surface D1à D4 est othogonale (un rectangle) , je n' arrive pas si elle est quelconque.
J'ai vu la solution il y a très longtemps, c'est un problème de projection, j'ai essayé avec les matrices, mais je sèche toujours.

Merci de m'aiguiller.

[Ben314]

Salut,
Ton énoncé n'est pas super clair...
La façon dont je le comprend : On a deux fois 4 points du plan D1,D2,D3,D4 et S1,S2,S3,S4 et on cherche une application "la plus simple possible" qui envoie les 4 points Di sur les 4 points Si.

Parmi les applications affines, c'est à dire de la forme il n'y a en général pas de solutions car une application affine est entièrement déterminée par l'image de seulement 3 points (non alignés)

La "catégorie" un peu plus grosse dans laquelle tu va trouver ton bonheur est celle des homographies (applications naturelles du plan projectif), c'est à dire de la forme du fait que, si parmi D1,D2,D3,D4 il n'y a pas 3 points alignés (idem pour S1,S2,S3,S4) alors il existe une unique homographie qui envoie les Di sur les Si.
Les coeffs a,b,c,a',b',c',a",b",c" se calculent trés simplement en résolvant des systèmes linéaires.

[Lionel144]

Merci ben314 de m'avoir répondu,

Je vais essayer d'expliquer mieux.

Il n'est pas certain que ce soit une transformation homographique que je cherche.
Mes huits points S1 à S4 et D1 à D4 sont connus. Ce sont deux polygones distincts.
Je cherche les deux fonctions, f(x) et f(y) qui associent pour un point quelconque à l'intérieur de l'une des deux surfaces, le point équivalent dans l'autre.
Je ne pense pas que ce soient des fonctions affines mais le domaine mathématique est confus dans ma tête.
Mon but est de complèter un logiciel de traitement graphique d'images par un module de déformation du type "perspective".
* J'ai donc - une seule inconnue, un point(x,y) dans un polygone.
- 16 paramètres qui sont les 8 points des deux polygones. (8 en x et 8 en y)
* Je cherche les coordonnées du point dans l'autre polygone.

J'espère avoir été plus clair.

[Ben314]

La réponse que je t'ai faite correspond bien à ce contexte : les homographies correspondent bien au déformations que l'on obtient lorsque l'on regarde un plan "en 3d" : plus précisément, si on se donne deux plans (pas forcéments parallèles) de l'espace de dim 3 (un "dessin" à pla et une "vitre") ainsi qu'un point O extérieur aux deux plans (la position de ton oeuil), puis que, à tout point M du premier plan, on associe le point M' du deuxième plan qui est sur la droite (OM) (tu dessine au feutre sur la vitre le dessin qui est derrière la vitre tel que ton oeuil le voit) alors, cela correspond à une homographie du premier plan sur le second (c'est ce que font tout les bons logitiels de 3d pour représenter des objects avec une notion de "lignes de fuite" et "d'horison" qui correspondent en math à la notion de plan projectif).
Tes 8 points "connus" te permettent de déterminer a,b,c,a',b',c',a",b",c" (qui ne sont uniques qu'à multiplication d'une constante prés) qui ensuite te permettent de déterminer l'image d'un point quelconque (x,y).
Il y a quelques "astuces" pour mener les calculs "au plus vite", mais de toute façon, c'est de l'algèbre linéaire (i.e. des systèmes d'équations)

[Lionel144]

Voilà, j'ai pris du temps pour prendre un peu de recul.

C'est très bien, c'est cela. Merci, je suis très content, j'ai tout compris. merci beaucoup.
En fait je faisais le mélange sans m'en apercevoir clairement car il y a plusieurs méthodes pour remplir un polygone de 4 côtés.
il y a les projections affines qui fonctionnent comme un oeil et il y a des étirements dirigés qui ne respectent ni la perspective ni les droites. Je faisais un peu de l'un un peu de l'autre de manière confuse, car chacune à des qualités et des défauts sur beaucoup de plans différents. Je n'avais pas une "vue" suffisamment théorique.
Maintenant je vais pouvoir choisir et parvenir.

Je vous remercie du fond du Coeur.