Problème

[Daniel54]

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour résoudre ce problème :
Un professeur a écrit dans une feuille tous les restes de la division de 365 par chacun des nombres 1, 2, 3,· · ·, et 365. Ensuite, un élève a écrit dans une autre feuille tous les restes de la division de 366 par chacun des nombres 1, 2,3,· · ·, et 366. A qui appartient la feuille dont la somme de tous les restes est la plus grande et par combien ?
Merci.

[yogi]

Bonsoir,

Au tableur, on trouve que c'est sur la feuille de l'élève que le résultat sera le plus élevé (23544 exactement contre 23523 pour la feuille du professeur). La différence est donc de 21.

Mais c'est pas très élégant comme preuve...
On peut toutefois remarquer quelques choses intéressantes qui permettent un calcul plus rapide : sur la feuille du professeur, pour tous les entiers d supérieurs ou égaux à 183, le reste sera égal à 365-d ; donc la somme des restes pour les dividendes supérieurs ou égaux à 183 s'écrira : 0+1+2+...+182=183*(0+182)/2. De même, on peut remarquer que sur la feuille de l'élève c'est exactement la même chose pour les entiers à partir de 184. Avec ça on réduit le problème "de moitié" déjà.
Et puis ensuite, on peut aussi voir qu'il y a plein de "séquences d'entiers" pour lesquelles les restes forment une sorte de suite arithmétique. Par exemple : pour les entiers 122≤d≤182, les restes sur la feuille du prof sont une suite arithmétique de raison 2 en partant de 1 (1 étant le reste de la division de 365 par 182; puis 3 étant le reste de 365 par 181,...etc), et on a les formules pour la somme des termes d'une suite. Idem pour la feuille du prof. Et d'après le tableur, on peut éliminer rapidement comme ça beaucoup d'entiers (avec une ou deux preuves par récurrence peut être).

Voilà j'espère t'avoir aidé un peu, d'autres trouveront sûrement des choses bien plus efficaces