Un probleme

[kamel at]

Bonsoir
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%20(a^3+b)(a+b^3)=(a+b)^4[/img]
calcul a et b
a et b sont Z (-1:-2:-3:-4...)(0:1:2:3:4:5:6:7:8:9:10.....)

[geegee]

Bonsoir
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}%20(a^3+b)(a+b^3)=(a+b)^4[/img]
calcul a et b
a et b sont Z (-1:-2:-3:-4...)(0:1:2:3:4:5:6:7:8:9:10.....)

Bonjour,

(a^3+b)(a+b^3)=(a+b)^4
a^4+a^3*b^3+ab+b^4=a^4+4a^3b+12a^2b^2+4ab^3+b^4
a^3*b^3+ab-4a^3b-12a^2b^2-4ab^3=0
a (a^2*b^3+b-4a^2b-12ab^2-4b^3 )=0
a=0
(a^2*b^3+b-4a^2b-12ab^2-4b^3 )=0 b=... ou

[chan79]

Bonjour,

(a^3+b)(a+b^3)=(a+b)^4
a^4+a^3*b^3+ab+b^4=a^4+4a^3b+12a^2b^2+4ab^3+b^4
a^3*b^3+ab-4a^3b-12a^2b^2-4ab^3=0
a (a^2*b^3+b-4a^2b-12ab^2-4b^3 )=0
a=0
(a^2*b^3+b-4a^2b-12ab^2-4b^3 )=0 b=... ou

En développant comme l'a fait geegee et en simplifiant, on obtient
a³b³+ba=4a³b+6a²b²+4ab³

ab(a²b²+1)=ab(4a²+6ab+4b²)
On voit déjà que tous les couples (a,0) et tous les couples(0,b) sont solutions.
on peut supposer maintenant que ab est non nul
a²b²+1=4a²+6ab+4b²
on voit que cette égalité ne peut pas être vérifiée si au moins l'un des deux nombres a et b est pair.
Il reste à envisager le cas où a et b sont tous les deux impairs.
Je ne pense pas qu'il y ait d'autre solution (à part (1,-1), (-1,1), (3,5), (5,3), (-3,-5) et (-5,-3)) mais ça reste à démontrer ...

[chan79]

En développant comme l'a fait geegee et en simplifiant, on obtient
a³b³+ba=4a³b+6a²b²+4ab³

ab(a²b²+1)=ab(4a²+6ab+4b²)
On voit déjà que tous les couples (a,0) et tous les couples(0,b) sont solutions.
on peut supposer maintenant que ab est non nul
a²b²+1=4a²+6ab+4b²
on voit que cette égalité ne peut pas être vérifiée si au moins l'un des deux nombres a et b est pair.
Il reste à envisager le cas où a et b sont tous les deux impairs.
Je ne pense pas qu'il y ait d'autre solution (à part (1,-1), (-1,1), (3,5), (5,3), (-3,-5) et (-5,-3)) mais ça reste à démontrer ...

Donc, tous les couples (a,0) et tous les couples(0,b) sont solutions .
Si le produit ab est différent de 0, a et b sont nécessairement tous les deux impairs.
Si (a,b) est solution, alors (b,a) l'est aussi.
Si (a,b) est solution, alors (-a,-b) l'est aussi.
On peut supposer a>0
On suppose d'abord a=1
a²b²+1=4a²+6ab+4b² devient b²+2b+1=0 soit b=-1
on a donc la solution (1,-1) et par symétrie (-1,1)
On suppose ensuite a=3 (car a est nécessairement impair)
l'équation devient 5b²-18b-35=0 et il y a une seule solution entière: 5
On a comme solution (3,5) et (-3,-5) par symétrie
On suppose a=5
On a comme solution (5,3) et (-5,-3) par symétrie
On suppose a>5
Il faut étudier les solutions de l'équation en b avec a comme paramètre:
b²(a²-4)-6ab+1-4a²=0
le coefficient de a² n'est pas nul car a doit être pair
le discriminant réduit est (2(a²-1))²
Il reste à étudier les solutions:
et soit
et
En étudiant ces deux fonctions, on voit que ces deux solutions ne sont jamais entières si a>5.
Par exemple, pour la première, elle est strictement décroissante sur [5,+inf[, pour a=5 la valeur est 3 et la limite quand a tend vers +inf est 2. Donc pour a>5, il n'y a pas de b entier qui convienne.
Finalement, il n'y a pas d'autres solutions que celles en rouge ci-dessus.

[Ericovitchi]

Beurk.
Sur le forum Ilesmaths, il y en a un qui a trouvé une solution simple :

ça donne le module de puis celui de a+ib : et on en déduit que a²+b²=5