Problème de synthèse (équation inéquation 2nd degré)

[Anonyme]

Bonjour à tous! C'est amélie je suis en première es
Voila j'ai un gros soucis , je n'arrive pas à trouver le système de quatre équations qui traduit les données du problème! Et sans ça je ne peux pas continuer
Voila l'énoncé:
Le gérant d'un supermarché a acheté un lot d'articles identiques.Il en vend d'abord la moitié, pour un montant total de 6600€, en faisant un bénéfice de 1,5€ par article vendu.
Il vend ensuite une autre partie de ces articles pour 5220€, en faisant un bénéfice de 1,8€ par article vendu.
Il solde enfin le reste pour un montant total de 1440€, en faisant malgré tout un bénéfice de 0,8€ par article vendu.
On appellera P le prix d'achat d'un de ces articles par le gérant.
On veut déterminer le nombre d'articles vendus à chaque fois, et le bénéfice total réalisé.
a)Ecrire un système de 4 équations traduisant les données ci dessus. Ce système n'est pas linéaire.
b)En déduire que P vérifie l'équation:
P^2 - 6.7P + 10.8 =0
c)Terminer la résolution du problème.

Si quelqu'un pourrait je l'en remerci d'avance!Parce que c'est pour la rentrée et je patauge!

[Chimerade]

P est le prix d'achat
N est le nombre total d'articles
soit n le nombre d'articles vendus à 1,8€
soit m le nombre d'articles soldés
Il en vend d'abord la moitié, pour un montant total de 6600€, en faisant un bénéfice de 1,5€ par article vendu.
Donc il vend N/2 articles au prix de 1,5+P et ça fait 6600
Donc :
N/2(1,5+P)=6600 Équation 1
Il vend ensuite une autre partie de ces articles pour 5220€, en faisant un bénéfice de 1,8€ par article vendu.
n*(1,8+P)=5220 Équation 2
Il solde enfin le reste pour un montant total de 1440€, en faisant malgré tout un bénéfice de 0,8€ par article vendu.
le prix de vente, c'est P+0,8
Donc :
m*(P+0.8) = 1440 Équation 3
Et au total il a tout vendu donc :
N/2+n+m = N Équation 4
On a 4 équations !

[Anonyme]

je te remerci beaucoup
seulement le bénéfice n'est il pas compris dans le prix d'achat? ne serait -ce pas plutôt P-1.5 au lieu de 1.5+P ?
Maintenant que j'ai ces équations que faut il que j'en fasse?J'ai essayé de les résoudre mais je n'y arrive pas!
Pour la deuxième question j'ai résolue en trouvant:
x1 =5.4/2
x2 =4

Mais bon voila comment en déduire que P vérifie l'équation?

Je suis un peu perdue!

Merci d'avance

[Chimerade]

seulement le bénéfice n'est il pas compris dans le prix d'achat? ne serait -ce pas plutôt P-1.5 au lieu de 1.5+P ?

Non ! Il n'y a aucune ambiguïté d'après l'énoncé :

On appellera P le prix d'achat d'un de ces articles par le gérant.

P est le prix payé par le gérant ! Aucun doute là dessus !

Maintenant que j'ai ces équations que faut il que j'en fasse?J'ai essayé de les résoudre mais je n'y arrive pas!
Pour la deuxième question j'ai résolue en trouvant:
x1 =5.4/2
x2 =4

Mais bon voila comment en déduire que P vérifie l'équation?

Tes deux valeurs x1 et x2 vérifient bien l'équation P^2 - 6.7P + 10.8 =0

Je ne comprends pas bien ton problème ; tu as résolu l'équation mais tu ne sais pas comment à partir des 4 équations du début on peut parvenir à P^2 - 6.7P + 10.8 =0 ?
Je récapitule :
N/2(1,5+P)=6600 Équation 1
n*(1,8+P)=5220 Équation 2
m*(P+0.8) = 1440 Équation 3
N/2+n+m = N Équation 4

De [4] tu déduis :
Donc [3] devient :
De [2] tu déduis :
Donc [3] devient :
Et enfin, de [1] tu déduis :
et [3] devient :
...qui est une équation à une inconnue P.
Je multiplie les deux côtés par et j'obtiens :





Soit, en divisant tout par 60 :


Ce qui donne deux solutions et

On peut maintenant trouver les autres variables :
Choisissons d'abord P=4 :
De : on déduit N=2400
De : on déduit n=900
De : on déduit m=300

Pour P = 2,7 ça marche tout aussi bien, sauf qu'on obtient :
N=3142,857... n=1160 et m=411,428...
Il va de soi que le gérant ne peut vendre que des nombre entiers d'articles, et donc cette solution, authentiquement solution du système de quatre équations (il suffit de le vérifier, ça marche parfaitement), n'est cependant pas solution de ton problème de gérant de supermarché...

Cela ne doit pas t'étonner. Dans le raisonnement initial, les phrases successives du texte te permettent de déduire des équations qui doivent être forcément vérifiées ; elles ne garantissent pas que d'autres solutions des équations trouvées sont forcément liées au problème de ton gérant de supermarché. Donc, d'après les phrases tu déduis des équations qui doivent être vérifiées, mais cela n'implique pas que les solutions de tes équations sont forcément des solutions du problème initial. Dans un problème comme cela c'est toujours le cas : à partir d'un certain nombre d'équations traduisant des contraintes, on peut déduire que la solution d'un problème est forcément l'une des solutions d'un système d'équations mais on est contraint de vérifier pour chaque solution trouvée du système qu'il s'agit bien d'une solution possible du problème initial. Si l'on n'était pas tombé sur des nombres non entiers pour la deuxième solution du système, on n'aurait tout simplement pas pu conclure : on aurait dit le gérant a acheté ses articles au prix ou au prix , mais les données du problème ne permettent pas de savoir lequel de ces deux prix a effectivement été le prix payé par le gérant.

[Anonyme]

Ouf !J'ai enfin compris !Merci pour ces expliquations nettes claires et précises! merci merci!