Problème symétrie axiale et courbe.

par **arn00** » 27 Déc 2008, 20:09

Bonjour à tous,
Je bloque sur une question d'un exo. Voilà l'énoncé :

Soit C' l'ensemble des poinst M du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient : y²-2x(x-1)²=0 avec 0<=x<=2.

1) Montrer que C' est la réunion de la courble C1 (y=(x-1)racine(2x)) et d'une courbe C2 déduite de C1 par une transformation du plan que l'on précisera. ( c'est fait)
2) Déterminer les coordonnées des points d'intersections de C' et de la droite d'équation y=x. ( c'est fait et je trouve une intersection aux points x=0, x=0.5 et x=2)
3) Soit C'' la courbe symétrique de C' par rapport à l'axe des ordonnées. Déduire de la question précédente une équation de C''.
Alors ici j'ai pensé à la propriété des fonctions paires et donc j'ai calculé f(-x) en remplaçant x par -x dans l'équation de C' et à la fin lorsque je retire la racine carré de y, j'obtiens 2 fonctions: y=-V(-2x^3 - 4x² -2x) ou y=V(-2x^3 - 4x² - 2x). Graphiquement j'obtiens un résultat satisfaisant mais le problème étant que je ne suis pas sûr de mon résultat et cela me bloque pour la question suivante qui me demande de montrer que l'équation de C' et de C'' réuni est (y²+4x²)²-4x²(x²+1)²=0 avec -2
Voilà, merci d'avance^^

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 00:40

Bonjour

L'équation de C' est donc :
y² -2x(x-1)² = 0 (E1 )

Celle de C'' est

y² + 2x(x+1)² = 0 (E2)

La réunion des 2 courbes donnera E1 ou E2
donc
(y² -2x(x-1)²)(y² + 2x(x+1)² ) = 0
on reconnaîtra , après développement des 2 expressions entre parenthèses
(a-b)(a+b)

ce qui donnera le résultat voulu

par **arn00** » 28 Déc 2008, 12:55

Merci pour ta réponse Huppasacee mais je ne parviens pas à retrouver l'identité remarquable, en développant cela fait :

(y² -2x(x-1)²)(y² + 2x(-x+1)² ) = 0
(y² -2x(x-1)²)(y² + 2x(x+1)² ) = 0
(y²-2x(x²-2x+1))(y²+2x(x²+2x+1)) = 0
(y²-2x^3+4x²-2x)(y²+2x^3+4x²+2x) = 0

Le problème c'est que les 4x² ont le même signe donc je n'arrive pas à discerner l'identité remarquable...

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 16:20

Bonjour

dans la première parenthèse , il y a des termes avec le signe + et les autres
[(y² + 4x²) - ( 2x^3 + 2x)] _ on peut mettre 2x en facteur

[(y² + 4x²) - 2x(x² +1)]

par **arn00** » 28 Déc 2008, 19:41

ok merci beaucoup pour ton aide. Je ne mettais ce que j'avais trouvé en relation avec ce qui m'était demandé. C'est mieux comme ça ^^

par **arn00** » 28 Déc 2008, 21:39

Heu, excuse-moi Huppasacee je ne sais pas vraiment si je le droit de faire ça mais je voudrais poser une nouvelle question sur cette exo et sur ce post (je ne sais pas s'il faut reposter un sujet pour une nouvelle question...). Bon je me lance, je verrais bien...

En fait, à la suite du dernier post suivent les questions suivantes :

Soit E (y²+4x²)²-4x²(x²+1)²=0 avec -2 réponse : par une symétrie axiale y=x[/COLOR]
Soit E' l'ensemble des points M du plan de coordonnées (x;y) qui vérifient :
(x²+4y²)²-4y²(y²+1)²=0 avec -2<x<2.

b) Tracer E' (j'obtients une rosace assez cool mais impossible à envoyer...)

c) Déterminer l'aire à l'intérieur de la rosace ainsi définie.
d) Déterminer l'aire à l'intérieur du quadrifolium central.

Voilà, je demande donc s'il vous plaît de l'aide pour les 2 dernière question, sachant que pour la c), j'ai planché sur le fait qu'une partie des parties de la rosace était compris dans un carré mais ça ne fonctionne pas donc pour le moment je tourne en rond...

Merci d'avance :++:

par **muse** » 28 Déc 2008, 21:56

tu as une symétrie par rapport au ordonnée donc y'a que a calculer l'air pour x>0 mais tu as assi une symétrie par rapport a l'axe des abscisse donc tu n'a qu'a calcule l'air sous la courbe pour

entre x=0 et x=1

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 22:18

Pour l'aire de la rosace : je dirais que c'est l'aire d'un carré auquel on a oté un certain nombre de fois l'aire qui est en dessous de la courbe ( de 1 à 2 )

pour le quadrifolium , je n'ai pas encore vu la question

par **muse** » 28 Déc 2008, 22:20

j'ai regarder la courbe sous maple je vois pas en quoi sa ressemble a une rosace lais bon

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 22:45

Donc , pour l'aire de la rosace

soit f1 l'équation de la courbe C1

donc

je dirais que l'aire de la rosace est R = 4*4 - 8 intégrale de 1 à 2 de f1(x)dx

par **arn00** » 28 Déc 2008, 22:45

Je planche sur ta réponse muse mais le problème étant que je ne vois vraiment pas comment faire et quel outil mathématique utiliser pour calculer cette aire...

par **arn00** » 28 Déc 2008, 22:49

Désolé je n'avait pas lu le post précédent. Alors oui j'avais pensé à une intégrale (j'ai vu dans mon bouquin de math qu'on parlait d'aire et de courbe dans ce chapitre) et là encore il y a un problème : je n'est pas encore vu les intégrales mais ça ne saurait tarder !

par **muse** » 28 Déc 2008, 22:55

Huppasacee a écrit:Donc , pour l'aire de la rosace

soit f1 l'équation de la courbe C1

donc

je dirais que l'aire de la rosace est R = 4*4 - 8 intégrale de 1 à 2 de f1(x)dx

Hum pourquoi ? je vais poster la courbe parce que je trouve ça bizarre enfin bon.

Sinon si tu n'as pas les intégral c'est mal parti parce que cette intégrale est pas facile du tout a calculer ...

par **muse** » 28 Déc 2008, 22:57

par **muse** » 28 Déc 2008, 23:03

Huppasacee a écrit:Donc , pour l'aire de la rosace

soit f1 l'équation de la courbe C1

donc

je dirais que l'aire de la rosace est R = 4*4 - 8 intégrale de 1 à 2 de f1(x)dx

hum c'est pas vraiment ça f1(x)
puis que

par **arn00** » 28 Déc 2008, 23:09

Par contre muse la courbe n'est pas fini ici, il manque E' je crois ?

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 23:38

oui , il manque E' , et la partie qui se trouve entre les droites x = 1, x = 2, y = 0 et la courbe verte est l'intégrale que j'ai indiquée

il y en a 8

et l'aire du carré ( délimité par les droites
x = -2
x = 2
y= -2
y=2
a pour aire 4*4 = 16

si , dans le premier quadrant , on trace la droite y = x
on voit que l'aire du quadrifolium est égale à l'aire de la rosace aà laquelle on enlève 8 fois la partie comprise entre la droite y = x et la courbe verte , entre les abscisses x = 0,5 et x = 2

par contre , entre x = 0,5 et 1 , il faut prendre en compte C2 ( f2(x) = -(x-1)racine de 2x ) et entre x = 1 et x = 2, prendre en compte C1

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 23:43

muse a écrit:Hum pourquoi ? je vais poster la courbe parce que je trouve ça bizarre enfin bon.

Sinon si tu n'as pas les intégral c'est mal parti parce que cette intégrale est pas facile du tout a calculer ...

primitive de x^(3/2) et de x^1/2 font partie des primitives de référence

par **muse** » 28 Déc 2008, 23:46

Huppasacee a écrit:primitive de x^(3/2) et de x^1/2 font partie des primitives de référence

ouais mais la c'est la multiplication des deux et y'a pas de formule toute faite pour les dérivé donc on ne sait pas dériver ce genre de fonction en 2 heures ...

Je viens d'ajouter E' je comprend mieux maintenant ton 16-8* l'integrale ....

j'ai calcule l'integral et elle vaut

par **Huppasacee** » 28 Déc 2008, 23:53

x^(3/2) = x^n
on applique la formule des dérivées et des primitives en généralisant ( là on peut le faire ) x^n aux puissances non entières

(x-1) racine de 2x : on développe
racine de 2 ( x^3/2 - x^1/2 )

Problème symétrie axiale et courbe.

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