Probleme sur une demonstration a faire

[liloute]

bonjour pouvez vous me donner un tit coup de main je suis bloqué ici.

soit f une fonction non nulle definiee et derivable sur R.et f=f'
en utilisant les conditions satisfaites de f et a partir de l'approximation afine ( f(a+h) = f(a) + hf'(a), demontrer par reccurence que opur tout n appartenant a N on a :
f(a+nh) = (1+h)indice n *f(a)

voila merci de m'aider
bisous

[PooShy]

Salut

Pour démontrer par récurrence :

I/Initialisation

Tu montres que la propriété que tu nommeras P est vraie pour un entier n'.

II/Hérédité

Tu supposes que P est vraie pour un entier n>=n' (c'est l'hypothèse de récurrence) et tu démontres qu'alors elle est vraie pour n+1

III/ P est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie.

De plus la seule fonction qui vérifie ces conditions est la fonction exponentielle dont tu connais les propriétés.

Avec ça et l'approximation affine tu arriveras très vite au résultat.

[liloute]

justement je connais pas les proprieté a la fonction exponentielle c le sujet pour l'introduire et je connais les proprieté de la demonstration mlais j'arrive pas a l'appliquer je bloque la tu peux m'aider un tit peu s'il te plait

[Quidam]

Pour ton information, lorsque'on élève une expression à la puissance n, on écrit ou "(1+h) puissance n", mais certainement pas "(1+h) indice n"

Ne pas oublier : comme son nom l'indique, l'approximation affine est une approximation. Mais on va l'utiliser !
f(a+h)=f(a)+hf '(a)
et comme f '(a)=f(a)...
f(a+h)=f(a)+hf(a)
f(a+h)=f(a)*(1+h)

f(a+2h)=f(a+h+h)=f(a+h)+h f '(a+h)
et comme f '(a+h)=f(a+h)
f(a+2h)=f(a+h)+h f(a+h)
f(a+2h)=f(a+h)(1+h)
f(a+2h)=f(a)*(1+h)*(1+h)=f(a)*(1+h)²

La récurrence est très facile ! Mais n'oublie pas qu'il ne s'agit que d'une approximation !