Problème sur les suites

[Yannou]

Bonjour à tous, j'ai un exercice dans un devoir maison à rendre sur lequel je bloque, en locurence sur les suites...
Je vous donne l'énoncé et les questions qui me posent problème afin qu'éventuellement vous puissiez m'aider...

(Un) est une suites arithmétique de premier terme Uo=ln2 et de raison ln9 et (Vn) la suite définie quel que soit l'entier n par Vn=exp(Un)
1) Exprimer Un et Vn en fonction de n
2) Démontrer que Vn est une suite géométrique. Préciser le premier terme Vo et la raison q.
3) On pose S1=Uo+U1+...+Un et S2=Vo+V1+...+Vn
Montrer que S1=(n+1)*ln(2*3n) et S2=1/4*(9^(n+1) -1)

J'ai compris ce qu'il faut faire pour la 2), mais n'ayant pas trouvé la 1 je ne peux pas avancer :/
Merci d'avance pour votre aide

[S@m]

Salut!

Bon ben puisque tu bloques à la 1) voyons déjà comment te débloquer...

Déjà on te dit que Vn s'exprime en fonction de Un, donc c'est d'abord cela qu'il faut trouver.

On te dit que c'est une suite arithmétique, de premier terme ln2 et de raison ln9.

Comment s'exprime une suite arithmétique? Il y'a un "modèle" précis, qui comprend la raison, le premier terme, et bien sur "n". :++:

[Yannou]

Ok...
Je trouve donc la suite arithmétique suivante : Un+1 = Un+ q
Un+1 = Un+ln9
et Uo=ln2

[Yannou]

Comme Un est une suite arithmétique, on a :
Un=Uo+nq donc Un=ln2+nln9

je suis sur la bonne voie?

[Yannou]

Vn = exp(Un)
Vn=exp(nln9+ln2)
Vn=9n+2

?

[Yannou]

personne pour m'aider? =(

[SimonB]

Vn = exp(Un)
Vn=exp(nln9+ln2)

Jusque-là c'est juste.

Vn=9n+2

A ta place, je reverrais les règles de priorité dans les exponentielles... Que vaut exp(a+b) ?

[Yannou]

quelle idiote, j'y pense jamais aux formules ^^
donc je trouve
Vn=exp(nln9+ln2) = 9n*2

par contre pour la suite pour démontrer que Vn est une suite géométrique je bloque un peu, il me faudrait la forme Vn+1=Vn*q ou Vn=Vo*q^n
je ne sais pas trop comment m'y prendre
c'est pourtant surement tout simple à partir de là...

[Youcef]

Salut .. tu as fais une petite erreur :

Vn=exp(nln9+ln2) = 9n*2

es tu sur que exp(nln9)=9n ???

[Yannou]

exp(nln9+ln2) = exp(nln9) * exp(ln2) = ???
je ne comprends pas mon erreur... :/

[SimonB]

exp(nln9+ln2) = exp(nln9) * exp(ln2) = ???
je ne comprends pas mon erreur... :/

Jusque-là c'est juste. Ce que te demande Youcef, c'est ce que vaut (plus simplement) exp(n ln(9)).

[Yannou]

en reprenant la formule exp(na), je trouve exp(nln9) = 9^n
d'ou donc Vn=exp(nln9+ln2) = 9^n * 2
est-ce juste cette fois-ci?

[Yannou]

maintenant que j'ai trouvé : Un=ln2 + nln9 et Vn=2*9^n
j'ai du mal pour démontrer que Vn est une suite géométrique...

[Yannou]

pour la question 2) : démontrer que Vn est une suite géométrique et préciser le premier terme Vo et la raison q

j'ai trouvé :

On a Vn=2*9^n
On retrouve donc ici la formule Vn=Vo*q^n
On est donc ici dans le cas d'une suite géométrique de premier terme Vo=2 et de raison q =9

est-ce juste?
j'en ai bien l'impression, et c'est tout simple en fait :)

[S@m]

Salut

C'est juste, mais ça c'est pas très catholique...
Il se trouve que la ca passe car c'est une suite simple

Mais sinon la méthode c'est effectuer le calcul de:


Et tu dois te retrouver avec un nombre constant, qui ne dépend pas de n :marteau:

[Yannou]

ah lol
oui mais je n'ai jamais appris à faire ça ^^
et comment je trouve Un+1 dans la mesure où je ne connais pas la raison?

[S@m]

Je parlais de Vn pas de Un,
Pour Vn tu as trouvé son expression: Vn=2*9^n
Il te suffit pour trouver Vn+1 de remplacer n par n+1.
Donc Vn+1= 2*9^(n+1)

[Yannou]

d'accord...
donc Vn+1/Vn = 2*9^(n+1)/2*9^n = 9^(n+1)/9^n= 9^(n+1-1) = 9^1=9
je dois en déduire quoi ensuite??

[S@m]

Et bien c'est la preuve que c'est une suite géometrique ^^
Tu trouves un nombre constant, indépendant de n.

Tu as prouvé de façon plus "mathématiques" que Vn est géometrique :happy2:

[Yannou]

Hummm ok !
Je m'étonne simplement de cette technique, je ne l'ai jamais étudiée et je ne la vois dans aucun de mes bouquins...