Problème sur les nombres incompris

[lateufeuse80]

Bonjour à toutes et à tous, j'ai un gros problème, j'au un DM à faire pour lundi de 3 exercices mais je ne comprend rien à aucun ! Le premier :

1.Soit S = 2^0 + 2^1 + 2^2+ ...+ 2^2004 + 2^2006.
Ecrire l'expression de 2S.
En déduire que 2S = S + 2^2006 - 2^0, puis une expression simple de S.

2.Dans cette question, on pose :
S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n-1 + 2^n, avec n un entier naturel.
Ecrire l'expression de 2S et en déduire une expression simple de S. (On s'inspirera du 1).

3.Dans cette question, on pose :
S = q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^n-1 + q^n, q étant un nombre réel différent de 1.
Ecrire l'expression de qS et en déduire que qS = S + q^n+1 - 1.
Puis montrer que S = qn+1 - 1/q - 1.

Je pense que 2S = 2^0 x 2 + 2^1 x 2 + 2^2 x 2 + ... + 2^2004 x 2 + 2^2005 x 2.

Voilà... c'est la seule question ou je comprend à peur près, le reste reste un mystère pour moi... blocage total...

Merci d'avance de bien vouloir m'aider.

[tize]

indice :

[lateufeuse80]

Ce qui nous fait :

2S = 2^0 x 2 + 2^1 x 2 + 2^2 x 2 + ... + 2^2004 x 2 + 2^2005 x 2
2S = 2^(0+1) + 2^(1+1) + 2^(2+1) + ... + 2^(2004+1) + 2^^(2005+1)
2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2005 + 2^2006.

Par contre, comment arriver à affirmer que S = S + 2^2006 - 2^0?
C'est surtout le "- 2^0" qui me gêne un peu...

Et 2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2005 + 2^2006 serait l'expression simple de S?

[tize]

2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2005 + 2^2006 c'est presque S, c'est S -qqch+qqch

[titine]

Ce qui nous fait :

2S = 2^0 x 2 + 2^1 x 2 + 2^2 x 2 + ... + 2^2004 x 2 + 2^2005 x 2
2S = 2^(0+1) + 2^(1+1) + 2^(2+1) + ... + 2^(2004+1) + 2^^(2005+1)
2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2005 + 2^2006.

Par contre, comment arriver à affirmer que S = S + 2^2006 - 2^0?
C'est surtout le "- 2^0" qui me gêne un peu...

Et ben ... tu as écrit 2S et tu vois bien que 2S c'est exactement la même chose que S en enlevant le 2^0 et en rajoutant le 2^2006 ...
2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2005 + 2^2006
S = 2^0 + 2^1 + 2^2+ ...+ 2^2004 + 2^2005
Donc S - 2^0 +2^2006 = 2S
Je ne sais vraiment que te dire de plus ...

Comme 2S = S - 2^0 +2^2006
On en déduit : S = - 2^0 +2^2006 = 2^2006 - 1 (car 2^0 = 1)

[lateufeuse80]

Ca y est j'ai enfin compris ! Il ne me reste plus que les questions 2 et 3 qui se font se font de la même manière et les 2 autres exercices. Par contre ceux-là; je vais ramer...

Merci en tout cas !

[lateufeuse80]

Donc si je comprend bien :

2. Soit S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n-1 + 2^n

2S = 2^0 x2 + 2^1 x2 + 2^2 x2 + ... + 2^n-1 x2 + 2^n x2


2S = 2^0+1 + 2^1+1 + 2^2+1 + ... + 2^n-1+1 + 2^n+1

2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n + 2^n+1

2S = S - 2^0 + 2^n+1 - 2^n-1

2S = S - 2^0
2S = S - 1

2S - S = -1


Est-ce que c'est correct??

[titine]

Donc si je comprend bien :

2. Soit S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n-1 + 2^n

2S = 2^0 x2 + 2^1 x2 + 2^2 x2 + ... + 2^n-1 x2 + 2^n x2


2S = 2^0+1 + 2^1+1 + 2^2+1 + ... + 2^n-1+1 + 2^n+1

2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n + 2^n+1

2S = S - 2^0 + 2^n+1 - 2^n-1

Je ne comprends pas ta dernière ligne.
S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + .......+ 2^(n-1) + 2^n
2S = 2^1 + 2^2 +.........2^(n-1) + 2^n + 2^(n+1)
Donc 2S = S - 2^0 + 2^(n+1 )
S = 2^(n+1) - 1

[lateufeuse80]

J'avais dejà corriger mais merci quand même !!!