Probleme sur les inéquation.tableau de signe.classe de 2nde

[nanou74]

soit ABCD un rectangle dont les cotés ont pour longueurs AB=5cm et AD=3cm
soit les points M de [AB] tel que AM=x ; N de[BC] tel que CN= x ; P de[CD]tel que CP= x ; Q de [AD] tel que AQ = x

1)jai exprimé laire de MNPQ en fonction de x : 8x-2x^2
Démontrer que cette aire est toujours inférieure ou egale à 8 :
jai fait le tableau de signe et laire est positive lorsque x E ]0;4[
et jai donné des exemple en remplacant par des valeurs de x comprises entre 0 et 4 :est ce que cela suffit pour le démontrer ???

2)démontrer que cette aire est inférieure ou égale a 6 si et seulement si : x^2-4x+3>(ou égal)0
donc c'est ici que jai un gros souci ! je ne comprend pas ce que ca vient faire la je ne voit pas le rapport !merci beaucoup de votre aide s'il vous plait !! :we:

nanou

[rene38]

Bonjour
1) Aire = 8x-2x² : d'accord ;
n'oublie pas que Q est sur [AD], AQ=x et AD=3 cm donc x<=3
Pour comparer l'aire au nombre 8, calcule (factorise) (8x-2x²) - 8
2) Pour écrire que l'aire est inférieure ou égale à 6, écris que
l'aire - 6 <= 0

[nanou74]

1) je veux bien et c'est ce que jai fais mais ca me donne x(8-2x)-8<= 0 et apres je ne peux plus rien faire...je ne vois ni facteur communs ni identité remarquable !

2)pour cette question je doit demontrer que cest inférieur a 6 donc a la base je ne le connait pas ! :mur:

merci de votre aide ..
nanou

[rene38]

1) je veux bien et c'est ce que jai fais mais ca me donne x(8-2x)-8<= 0 et apres je ne peux plus rien faire...je ne vois ni facteur communs ni identité remarquable !

Ce qui est en gras n'est pas factorisé : c'est une différence.
Reprends 8x-2x²-8 et mets d'abord (-2) en facteur et tu verras.

2)pour cette question je doit demontrer que cest inférieur a 6 donc a la base je ne le connait pas !

Non, tu dois démontrer que :
dire que l'aire est inférieure ou égale à 6 (proposé par l'énoncé) équivaut à
dire que x²-4x+3 est supérieur ou égal à 0.

[nanou74]

2) jai trouvé !!!!! :id:
si x^2-4x+3>=0
alors on fait *-1 de chaque coté !???
ca nous donne4x-x^2-3<=0 .....????
*2......2*(4x-x^2-3)<=0
8x-2x^2-6<=0
donc 8x-2x^2<=6
c'est ca ???
merci beaucoup !!!!
:we:
nanou

[lapras]

Salut,

2)
Si l'aire est inférieure à 6 , alors
8x - 2x² - 6 <= 0
divisons par 2
4x - x² - 3 <=0
multiplions par -1 :
x² - 4x + 3 <= 0

Donc si x² - 4x + 3 <= 0 , alors l'aire est inférieure ou égale à 6
Résolution :
(x - 2)² - 1 <=0
(x - 2 -1)(x - 2 + 1)<= 0
(x - 3)(x -1)<=0
tableau des signes nous donne :
S = ]-OO ; -3]U[-1 ; +OO[

Voila ^^

[nanou74]

alors la ca menbrouille plus qu'autre chose : je doit partir de quoi exactement ? de x^2-4x+3>=0 ou de 8x-2x^2-6<=0 ???

"lapras" tu naurais pas le livre de math de seconde parce que la tu viens de repondre a la question suivante !^^

nanou

[rene38]

nanou74
Sauf que comme tu as commencé par "si", il faut aussi démontrer "seulement si" en repartant dans l'autre sens.
Il est peut-être plus simple d'écrire :
l'aire est inférieure ou égale à 6 si et seulement si
8x-2x²-6 = 0
-------------------------
lapras, tu écris

Si l'aire est inférieure à 6 , alors
8x - 2x² - 6 <= 0
divisons par 2
4x - x² - 3 <=0
multiplions par -1 :
x² - 4x + 3 <= 0

Donc si x² - 4x + 3 <= 0 , alors l'aire est inférieure ou égale à 6

En rouge, attention à la multiplication par un nombre négatif.
En gras, réciproque (fausse à cause du signe) non démontrée !

[nanou74]

daccord mais alors pour la 1) je trouve -2(x-2)^2 <= 0 mais je ne vois pas en quoi ca mavance... :triste:

est ce que je doit placer mon tableau de signe dans tout ca ou il ne me sert strictement a rien ?

nanou

[lapras]

Salut,
oui effectivement j'ai oublié de changer l'inégalité !
Je me suis meme trompé sur la solution de l'inéquation
S = ]-OO ; 1]U[3 ; +OO[

Il me semble que cette fois c'est bon

[lapras]

Re nanou,
-2(x-2)²<= 0
Pour que cela soit vérifier, (x - 2)² doit etre >= 0 (oui en effet étant donné qu'un des facteurs est négatif, l'autre ne doit pas etre négatif pour que le produit soit négatif ou nul !)
Or (x - 2)² >= 0 car un nombre au carré est toujours positif ou nul donc l'inégalité -2(x-2)²<= 0 est vraie donc 8x - 2x² - 8 <=0 donc l'aire est toujours inférieure ou égale à 8.
C'est comme ca que je vois la démonstration, mais peut etre qu'elle n'est pas bonne !

++

[rene38]

daccord mais alors pour la 1) je trouve -2(x-2)^2 <= 0 mais je ne vois pas en quoi ca mavance... :triste:

est ce que je doit placer mon tableau de signe dans tout ca ou il ne me sert strictement a rien ?

nanou

Pourquoi un tableau ?
(x-2)² est un carré donc positif quel que soit x
On le multiplie par le nombre négatif (-2).
On obtient donc un produit négatif
quel que soit x, 8x-2x²-8 est négatif donc 8x-2x² est inférieur ou égal à 8
quel que soit x, l'aire est inférieure ou égaleà 8.

[nanou74]

je suis daccord mais au départ -2(x-2)^2 ne correspond pas a lenoncé donc on ne peut pas commencer la demonstration avec ca ca voudrait rein dire (desolé mais je ne comprend jamais par ou il faut commencé et je me plante tout le temps !)
merci de votre aide rene38 et lapras !
nanou

[lapras]

salut,
On sait que l'aire est :
8x - 2x²
Pour prouver que cette aire est inférieure ou égale à 8 , il faut démontrer que
8x - 2x² - 8<= 0
équivaut à( -2(x-2)^2 <= 0 )
Or le carré d'un nombre est toujours supérieure ou égal à 0 donc (x-2)² >= 0 donc -2(x-2)² est toujours négatif ou nul donc
-2(x-2)² <= 0 donc l'aire est inférieure ou égale à 8