Problème sur des suites

[sierra]

Bonjours, j'ai un exercice sur des suites qui me pose un petit problème :

1-Montrer que pour n appartenant a N, Un+1 -2 = (Un - 2)/ ( racine(2 + Un) + 2). Je l'ai fait, c'est simple

2- en déduire que |Un+1 - 2| < (1/2) |Un - 2|. Je l'ai fait (Un est compris entre 0 et 2 pour l'ensemble de l'exercice)

3- Justifier alors que : |U0 - 2| < 2; |U1 - 2| < 1 ; |U2 - 2|<1/2; |U3 - 2|<1/4; ... : |Un - 2| < 1/(2^n-1)

4- En déduire la limite de la suite (Un).

Désolé l'écriture n'est pas très clair mais mon scanner ne marche plus. Je suis bloqué aux questions 3 et 4. :triste:
Voila, merci de votre aide :++:

[Ericovitchi]

on peut deviner mais tu pourrais nous donner Un+1= f(Un)

[sierra]

ah oui effectivement j'ai oublié : f(x) = racine (x+2) et Un+1 = f(Un)

[Ericovitchi]

A partir du moment où tu as démontré que |Un+1 - 2| < (1/2) |Un - 2|
Si tu réitère l'inégalité jusqu'à n=1 tu vas trouver l'inégalité proposée en 3)

Après avec le théorème des gendarmes tu en déduis que |Un-2| tends vers quoi ?

[sierra]

Pour la question 2), je suis arrivé a (2 - Un)/ ( racine(2 + Un) + 2) < (2-Un)/2 car
racine(2 + Un) + 2 > 2 donc lorsqu'on divise par un nombre plus grand le résultat est plus petit, mais je ne comprend pas lorsque vous dite de réitérer l'inégalité jusqu'à n=1

[Ericovitchi]

|Un+1 - 2| < (1/2) |Un - 2| < (1/2)² |Un - 3|< (1/2)³ |Un - 4|< etc...

[gigamesh]

|Un+1 - 2| < (1/2) |Un - 2| < (1/2)² |Un - 3|< (1/2)³ |Un - 4|< etc...

Bonsoir,
tu t'es laissé emporter par ton enthousiasme et as réduit quelque peu abusivement.
plutôt !

[Ericovitchi]

ha oui effectivement

[sierra]

ah ok j'ai compris merci