Probleme sur l'algorithme des Babyloniens ou Heron

[emeline_2609]

Bonjour a tous!
J'ai un probleme de maths assez compliqué, est ce que quelqu'un pourrait m'aider?
L'enoncé est assez long mais il n'y a que trois questions :

Algorithme de Babylone ou Algorithme de Héron (Héron d'Alexandrie, 1er siècle de notre ère)
Une tablette d'Argile conservée à l'université d'Yale prouve que cette méthode était connue des Babyloniens. Elle a été attribuée à Archytas de Tarente vers 400 av. J.-C.
On peut lire dans cette tablette (après transcription en base 10, puisque l’original est rédigé en base 60) l’équivalent de : 2 = 1,414222, valeur qui ne diffère que de 0,000008 de la vraie valeur : 2 = 1,414213562...
L’extraordinaire est qu’il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation ! Comment s’y sont-ils pris ?

Pour calculer a, par exemple 2, prenons en une première approximation quelconque : a1 soit a1 = 1,6.
Choisissons comme seconde approximation : b1 = aa1 soit b1 = 21,6 = 1,25.
Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera donnée par la moyenne : c1 = 12(a1 + b1) soit c1 = 12(1,6 + 1,25) = 1,425.
Et on recommence en prenant la valeur c1 pour a2.
On a donc a2 = 1,425 et b2 = aa2 = 1,4035... puis c2 = 12(a2 + b2) = 1,41425...
On répète le processus jusqu'à obtenir deux valeurs consécutives suffisamment proches et respectant la précision voulue.
Cet algorithme à l’avantage de "converger" très vite.

1) Utiliser la méthode des Babyloniens pour calculer une approximation décimale à 10-5 près de 5. Vous expliquerez pourquoi vous êtes certain d'avoir une valeur convenable.
2) Proposer sur votre calculatrice ou sur un tableur (du type Excel) un programme ou une démarche permettant d'obtenir une valeur approchée par cet algorithme.
3) Traduire l'algorithme géométriquement, c'est-à-dire interpréter géométriquement chacune des étapes de l'algorithme (calculer a1b1, a2b2, …) et construire géométriquement le processus proposé.

voila, pour la premiere question j'arrive a 2,236067978

pour la deuxieme je voi s comment faire mais ne sait pas comment l'expliquer, et la troisieme question ressemble a du chinois pour moi :briques:

si vous pouviez m'aider, ce devoir est pour lundi, je vous remercie d'avance

[ned aero]

Bonsoir,

il ya des signes "racine de" qui manquent...

[emeline_2609]

oui pardon je corrige :

Algorithme de Babylone ou Algorithme de Héron (Héron d'Alexandrie, 1er siècle de notre ère)
Une tablette d'Argile conservée à l'université d'Yale prouve que cette méthode était connue des Babyloniens. Elle a été attribuée à Archytas de Tarente vers 400 av. J.-C.
On peut lire dans cette tablette (après transcription en base 10, puisque l’original est rédigé en base 60) l’équivalent de : racine de 2 = 1,414222, valeur qui ne diffère que de 0,000008 de la vraie valeur : racine de 2 = 1,414213562...
L’extraordinaire est qu’il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation ! Comment s’y sont-ils pris ?

Pour calculer racine de a, par exemple racine de 2, prenons en une première approximation quelconque : a1 soit a1 = 1,6.
Choisissons comme seconde approximation : b1 = aa1 soit b1 = 21,6 = 1,25.
Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera donnée par la moyenne : c1 = 12(a1 + b1) soit c1 = 12(1,6 + 1,25) = 1,425.
Et on recommence en prenant la valeur c1 pour a2.
On a donc a2 = 1,425 et b2 = aa2 = 1,4035... puis c2 = 12(a2 + b2) = 1,41425...
On répète le processus jusqu'à obtenir deux valeurs consécutives suffisamment proches et respectant la précision voulue.
Cet algorithme à l’avantage de "converger" très vite.

1) Utiliser la méthode des Babyloniens pour calculer une approximation décimale à 10-5 près de racine de 5. Vous expliquerez pourquoi vous êtes certain d'avoir une valeur convenable.
2) Proposer sur votre calculatrice ou sur un tableur (du type Excel) un programme ou une démarche permettant d'obtenir une valeur approchée par cet algorithme.
3) Traduire l'algorithme géométriquement, c'est-à-dire interpréter géométriquement chacune des étapes de l'algorithme (calculer a1b1, a2b2, …) et construire géométriquement le processus proposé.

voila, pour la premiere question j'arrive a 2,236067978

pour la deuxieme je voi s comment faire mais ne sait pas comment l'expliquer, et la troisieme question ressemble a du chinois pour moi

voila :marteau:

[emeline_2609]

oui pardon, je corrige tout de suite:

Algorithme de Babylone ou Algorithme de Héron (Héron d'Alexandrie, 1er siècle de notre ère)
Une tablette d'Argile conservée à l'université d'Yale prouve que cette méthode était connue des Babyloniens. Elle a été attribuée à Archytas de Tarente vers 400 av. J.-C.
On peut lire dans cette tablette (après transcription en base 10, puisque l’original est rédigé en base 60) l’équivalent de : racine de 2 = 1,414222, valeur qui ne diffère que de 0,000008 de la vraie valeur : racine de 2 = 1,414213562...
L’extraordinaire est qu’il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation ! Comment s’y sont-ils pris ?

Pour calculer racine de a, par exemple racine de 2, prenons en une première approximation quelconque : a1 soit a1 = 1,6.
Choisissons comme seconde approximation : b1 = aa1 soit b1 = 21,6 = 1,25.
Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera donnée par la moyenne : c1 = 12(a1 + b1) soit c1 = 12(1,6 + 1,25) = 1,425.
Et on recommence en prenant la valeur c1 pour a2.
On a donc a2 = 1,425 et b2 = aa2 = 1,4035... puis c2 = 12(a2 + b2) = 1,41425...
On répète le processus jusqu'à obtenir deux valeurs consécutives suffisamment proches et respectant la précision voulue.
Cet algorithme à l’avantage de "converger" très vite.

1) Utiliser la méthode des Babyloniens pour calculer une approximation décimale à 10-5 près de racine de 5. Vous expliquerez pourquoi vous êtes certain d'avoir une valeur convenable.
2) Proposer sur votre calculatrice ou sur un tableur (du type Excel) un programme ou une démarche permettant d'obtenir une valeur approchée par cet algorithme.
3) Traduire l'algorithme géométriquement, c'est-à-dire interpréter géométriquement chacune des étapes de l'algorithme (calculer a1b1, a2b2, …) et construire géométriquement le processus proposé.

voila, pour la premiere question j'arrive a 2,236067978

pour la deuxieme je vois comment faire mais ne sais pas comment l'expliquer, et la troisieme question ressemble a du chinois pour moi