Problème suites terminale S

[Doridoriane]

Bonjour,
J'ai un DM avec 2 problèmes à rendre pour le 30 septembre.
J'ai déjà résolu u problème sur les deux et le problème non résolu, je ne sais vraiment pas comment le résoudre. Voici l'énoncé:
Une assemblée comporte n personnes. On suppose que chacune de ces personnes sert la main à toutes les autres.
Montrer qu'il y aura en tout (n(n-1))/2 poignées de mains échangées.
Merci d'avance

[mathelot]

bonjour,

quand chacun va vers l'autre , ça fait combien de possibilité ?

on suppose qu'on ne se serre pas la main gauche avec la droite soi-même :id:

pourquoi on divise par 2 ?

[titine]

Bonjour,
J'ai un DM avec 2 problèmes à rendre pour le 30 septembre.
J'ai déjà résolu u problème sur les deux et le problème non résolu, je ne sais vraiment pas comment le résoudre. Voici l'énoncé:
Une assemblée comporte n personnes. On suppose que chacune de ces personnes sert la main à toutes les autres.
Montrer qu'il y aura en tout (n(n-1))/2 poignées de mains échangées.
Merci d'avance

Imagine tes n personnes . La 1ere a un dossard 1, la 2eme un dossard 2, ...., la nième un dossard n.
1 serre la main à 2, 3, ..., n. Donc 1 serre ...... mains.
2 serre la main de 3, 4, ..., n (on a déjà compté la main de 1 qu'il a serré). Donc 2 serre ....mains.
Et 3 serre ... mains

Et (n-1) serre ..... mains.
Et n serre ......mains.

Au total le nombre de poignées de mains est : .... + ...... + .....+ .....

[Doridoriane]

J'ai deja trouvé quelque chose:
0->0
1->0
2->1
3->3
4->6
5->10
6->12
Et entre chaque poignée de main on rajoute 1
U(n+1)=u(n)+n

[titine]

J'ai deja trouvé quelque chose:
0->0
1->0
2->1
3->3
4->6
5->10
6->12
Et entre chaque poignée de main on rajoute 1
U(n+1)=u(n)+n

Je ne comprends pas ton raisonnement.

Pourquoi n'as tu pas suivi le raisonnement que je te proposais ?

Un autre raisonnement possible :
Chacune des n personnes serre la main à chacune des autres.
Donc chacune des n personnes serre la main à (n-1) personnes.
Mais il n'y a pas n*(n-1) poignées de main car chaque poignée de main a été compté en double. En effet Albert serre la main de Brigitte et Brigitte serre la main d'Albert c'est la même poignée de main !
Il faut donc diviser par 2 , ce qui donne n*(n-1)/2 poignées de main.

[Doridoriane]

Je n'ai pas compris non plus le raisonnement que t'as proposé ...
Mais j'ai compris celui d'apres

[paquito]

Tu peux aussi raisonner ainsi:

une 1° personne commence à serrer les mains, donc à (n-1) personnes
une 2° personne prend la suite, mais elle n'a plus qu'à serrer (n-2) mains
une 3° personne prend la suite, mais elle n'a plus qu'à serrer (n-3) mains
....
...
La dernière personne aura serré la main de tout le monde;

si on fait le compte ça fait 1+2+.............+(n-2)+(n-1) poignées de main et tu retrouve la somme de (n-1) termes consécutifs d'une suite arithmétique, ce qui donne:



La méthode de titine est plus élégante.

[Doridoriane]

Les deux methodes reviennent a faire la meme chose ^^
Mais sinon est-ce qu'on peut partir d'un raisonnement par recurrence en posant P(n):"n(n-1)/2" et ensuite on montre que c'est vrai pour tout entier naturel ?

[paquito]

Ce n'est pas bête du tout: initialisation pour n=1

supposons le résultat établi pour un nombre de personnes

et ajoutons une (n+1)° personne; cette dernière serre la main aux n personnes qui était présentes donc le nombre de poignées de main passe à n(n+1)/2+n=(n+1)(n+2)/2; ça marche! Bonne idée!