Probleme suites T° S

[sebirt]

Bonjour, j' ai un dm concernant les suites :/ et j' aimera bien qu' on maide pr certaines question. voici l' énoncé, mes interventions sont entre parenthese. Regardez surtout les questions 2 et 3 de la partie B et la question 3 de la partie C

Soit (Un) n € N* et (Vn) n € N* deux suites réelles définies par:
U1=13 et Un+1=(Un + 2Vn)/3 pour n>=1
et
V1=1 et Vn+1=(Un + 3Vn)/4 pour n>=1

La partie A j' ai réussi donc partie B intitulée " Al' aide d' un raisonnement par récurrence"

1) Démontrer que, pour tout n >= 1, Un>=Vn. (j' ai réussi a le faire.)
2) en déduire que les suites (Un) n €N* et (Vn) n€N sont monotones. (Donc d' apres la formulation je dois utiliser la réponse du 1) or je vois pas le rapporte sinon je connais la formule Un+1 - Un et si c' est positifi c' est croisssant sinon décroissant mais faut utiliser la réponse du 1).....)
3) Démontrer qu' elle sont bornées par 1 et 13. (Je vois pas du tout comment faire!)


C " A l' aide de suite auxiliaires"

1) On pose, pour tout n de N*, Wn=Vn - Un.
a) démontrer que (Wn) n<=1 est une suite géométrique. (je crois avoir réussi...)
b) exprimer Wn en fonction de de n pour tout n de N* (je pense aussi que c' est bon)
2)On pose pour tout n de N* , Tn=3Un + 8Vn. Démontrer que la suite (Tn) est constante et préciser la valeur de Tn pour tout n de N* (c' est bon j' ai trouvé 47)
3) en déduire les expressions de Un et de Vn en fonction de n puis préciser la limite des suites (Un) et (Vn)
(alors pour cette question je seche totalement jarrive pas a voir comme utiliser les précedentes réponses et je trouve pas du tout Un et Vn en fonction de n donc ça serait gentil de me donner une piste)

voia merci de me répondre!!!

[Benjamin]

Bonsoir,

Pour la question 2).

Tu sais que pour tout n>0, Un>=Vn, donc dans la relation de récurrence de la suite (Un), tu peux minorer Vn (en fonction de Un) puis 2Vn, puis Un+2Vn etc... pour en arriver à minorer Un+1 toujours en fonction de Vn.

De même pour (Vn). Tu sais que V(n+1)=(Un+3Vn)/4. Un>=Vn donc Un+3Vn>=... et tu arrives à V(n+1)>=....

Le but, c'est de faire disparaitre Vn dans l'expression de U(n+1) et de faire disparaître Un dans l'expression de V(n+1) grâce à la relation d'ordre de la question 1.

Pour la question 3), il faudra que tu te servent des résultats des questions 1 et 2.

[sebirt]

Merci de m' avoir répondu mais pour la question 2) c' est bon j' ai trouvé ce que tu voulais dire pour U(n+1)>=U(n) mais pour V(n+1)>=Vn les U(n) disparraisent automatiquement car Un>=Vn
Un+3Vn>=4Vn
Vn+1>=Vn donc pas besoin dutiliser la relation de récurrence non? par contre pour Un oui. Pour la question 3) de la partie Bje dois utiliser le fait qu' elles soient monotomes?

Et pour la question 3) de la partie C Je le sais déja mais j' arrive pas a voir ce qui peut m' aider dans les précédentes réponses je bloque a trouver Un et Vn en fonction de n

[Benjamin]

Merci de m' avoir répondu mais pour la question 2) c' est bon j' ai trouvé ce que tu voulais dire pour U(n+1)>=U(n) mais pour V(n+1)>=Vn les U(n) disparraisent automatiquement car Un>=Vn
Un+3Vn>=4Vn
Vn+1>=Vn donc pas besoin dutiliser la relation de récurrence non? par contre pour Un oui.

U(n+1)>=U(n) est faux. Ensuite, tu viens d'utiliser la relation de récurrence pour prouver que V(n+1)>=V(n) !! Dans les 2 cas, il faut l'utiliser.
Une suite peut-être donnée définie de plusieurs façon. En particulier, tu peux avoir :
- pour tout n>=n0, U(n)=f(n), où f est une fonction de n.
- U(n0)=a et pour tout n>=n0, U(n+1)=f(U(n)) où f est une fonction de U(n).

C'est ce deuxième cas que l'on a ici, et ce qu'on appelle la relation de récurrence de la suite, c'est "U(n+1)=f(U(n))".

Pour répondre au sujet de V(n), tu as utilisé le fait que Vn+1=(Un + 3Vn)/4.
Il te faut de même utiliser le fait que Un+1=(Un + 2Vn)/3 pour montrer que U(n+1)<=U(n).

Pour la question 3) de la partie Bje dois utiliser le fait qu' elles soient monotomes?

Pour la question 3, il faut utiliser la monotonie oui. Mais trouve d'abord de quelle monotonie il s'agit (croissant ou décroissant ).

Et pour la question 3) de la partie C Je le sais déja mais j' arrive pas a voir ce qui peut m' aider dans les précédentes réponses je bloque a trouver Un et Vn en fonction de n

Grâce à la question 2), tu peux remplacer V(n) en fonction de U(n) dans l'expression de W(n), ce qui te donnera donc U(n) en fonction de n. De même pour V(n).
Pour la limite, c'est dans le titre de la question : tu as des suites adjacentes.

[sebirt]

Ok je vais essayer et je vais voir ^^ merci beaucoup sinon le truc de la monotonie avec les fonctions on a pas fait

[Benjamin]

T'occupes pas de la monotonie de fonction.
Retiens juste que c'est le signe de U(n+1)-U(n) qui définit la monotonie.

[sebirt]

alors pour Vn+1>=Vn jai trouvé mais pour Un+1<=Un j' y arrive pas et pour la derniere question 3 de la partie C je comprends toujours pas

[Benjamin]

Un+1=(Un + 2Vn)/3. Or, Un>=Vn donc 2Un>=2Vn donc Un+2Un>=Un+2Vn donc 3Un>=Un+2Vn donc Un>=(Un+2Vn)/3=Un+1.

Pour la fin, Tn est constant, montons Tn=A.
Donc 3Un+8Vn=A donc Un=(A-8Vn)/3.

Si tu remplaces dans Wn les Un par (A-8Vn)/3, tu n'auras plus que du Vn. Or, grâce à la question 1, tu connais Wn en fonction de n.

[sebirt]

je crois avoir compris je vais essayer d refaire merci

EDIT: c' est bon pour la question 2) merci en fait je ne faisais que des additions et je faisais pas de multiplication...
Pour montrer qu' elles sont bornées j' utilise le fait que Un est décroissante donc 13>=Un et que Vn est croissante donc Vn>=1 et comme Un>=Vn on peut en conclure que
13>=Un>=Vn>=1 et de ce fait elles sont bornées par 1 et 13.

Et pour la question 3 de la partie C je suis en train de faire

[sebirt]

si quelqun pourrait me répondre pour ma réponse d' avant puis pour la question 3) de la partie C)
j' ai trouvé des expressions bizarre de Un et v(n)
alors pour U(n)=(47-3U(n))/8 + 12 X (1/12)^n-1
et V(n)= -12X(1/12)^n-1 + (47+8V(n))/3

et je crois pas que c' est juste parce qu' elles devraient etre des suites géométriques non puisque elle convergent vers 4 approximativement :s

[sebirt]

svp quon me réponde :s pcq jai la partie A qui est fausse

[sebirt]

bon alors j' ai trouvé que U(n)=(-96 X (1/12)^(n-1) - 47)/ -11
et que V(n)= (-36X (1/12)^(n-1) + 47) /11 j' ai bien vérifié et c' est juste :) mais je ne sais pas comment trouver leur limite quand n tend vers + l' infini

svp répondez moi

[Benjamin]

Pour montrer qu' elles sont bornées j' utilise le fait que Un est décroissante donc 13>=Un et que Vn est croissante donc Vn>=1 et comme Un>=Vn on peut en conclure que
13>=Un>=Vn>=1 et de ce fait elles sont bornées par 1 et 13

Ceci est juste. Par contre, pourquoi dis-tu que ta partie A est fausse ?
Pour la 3C, je n'ai pas trouvé ça pour Un et Vn, mais je n'ai pas vérifié spécifiquement, et j'ai pu me tromper. Je vais regarder plus en détails.

Pour la limite, quand on a -1<q<1, alors la limite quand n tend vers l'infini de q^n=0.

[sebirt]

oui mais comment on sait si c' est une suite géométrique ou pas?

EDIT: ben en fait dans la partie A
1) calculer les 4 premier termes
(deja la je sais pas si faut calculer jusqu' à U4 et V4 ou jusqua U5 V5 sachant que U1 et V1 sont deja donné)
2) les placer sur droite réelle dur a placer mais c' est fait
) et la c' est la question qui tue....
quelles conjectures peut-on faire sur chacune des suites(sens de variation,majorant,minorant,comparaison limite)

Alors j' ai répondu que un est décroissante et Vn croissante, elles sont minorées par 1 et majorées par 13 , que un>=Vn et pour les limites je sèches car on dirait qu' elles convergent vers 4.2 quelque chose comme ça donc je sais pas leur limite :/

[Benjamin]

Effectivement, je m'étais trompé pour Un et Vn et tu sembles avoir juste ;). Tu es bientôt au bout :) !!

[sebirt]

dans mon message précédent j' ai mis la partie a et ce que j' ai trouvé et la je cherche les limites des suites

[Benjamin]

Justement, je t'ai déjà dit que ton partie A était juste... sauf pour Un+1>Un (qui est faux), mais je t'ai montré et tu as été d'accord il me semble non ? ;).

[sebirt]

oui sauf que la partie dont tu parles est la partie B et non la partie A que j' ai écrite dans un de mes messages précédent ou ya l' édit

[Benjamin]

Exact, je parle de la partie B, mais nul part tu n'as écrit ce qu'on te demande dans la partie A !!! C'est quoi la question, et c'est quoi ton doute ?

[sebirt]

bon alors je recopie puisque tu l' as pas vu


EDIT: ben en fait dans la partie A
1) calculer les 4 premier termes
(deja la je sais pas si faut calculer jusqu' à U4 et V4 ou jusqua U5 V5 sachant que U1 et V1 sont deja donné)
2) les placer sur droite réelle dur a placer mais c' est fait
) et la c' est la question qui tue....
quelles conjectures peut-on faire sur chacune des suites(sens de variation,majorant,minorant,comparaison limite)

Alors j' ai répondu que un est décroissante et Vn croissante, elles sont minorées par 1 et majorées par 13 , que un>=Vn et pour les limites je sèches car on dirait qu' elles convergent vers 4.2 quelque chose comme ça donc je sais pas leur limite :/




et pour trouver la limite dans la question 3) de la partie C u(n) et V(n) en fonction de n comment je sais que ce sont bien des suites géométrique? car "Pour la limite, quand on a -1