[ Term S ] probleme de suite

[haricot29]

J'ai quelques petits problemes dans cet exo, si vous pouviez me filer un coup de pouce... Merci d'avance pour votre aide !


1) La suite Un definie par U0=1 et pr tt n €N, U(n+1)=(1/2)U(n)+n-1,
a) demontrer que pr tt n supérieur ou égal à 3 , Un supérieur ou égal à 0
b) en deduire que pr tt n supérieur ou égal à 4 , Un supérieur ou égal à n-2
c) en deduire la limite de la suite (Un)

2) la suite (Vn) définie par Vn=4U(n)-8n+24
a) demontrer que (Vn) est une suite geometrique decroissante, on donnera la raison et le premier terme.
b) demontrer que pr tt n€N , Un=7(1/2)^(n) +2n-6
c) verifier que pr tt n€ N, Un=xn+yn ou xn est une suite geometrique et yn une suite suite arithmetique dont on precisera pour chacune le 1er terme et la raison
d) en deduire l'expression de Sn= (k=0 jusqu'à n) Uk en fonction de n.

En Orange les questions qui ont étaient résolues...

[haricot29]

Voila ce que j'ai réussi...
1)a) j'ai procédé par récurrence
Initialisation
pour n sup ou égal a 3 ; U3 = 7/8 sup ou égal à 0.
--> propriété vraie
Hérédité
soit n sup ou égal à 3
supposons Un sup ou égal à 0
montrons Un+1 sup ou égal à 0
Démo
Un sup ou égal à 0
1/2 Un sup ou egal à 0
1/2 Un + n-1 sup ou égal n-1 car n sup ou égal à 3
Un+1 sup ou égal à 0
Conclusion
Pour tt n sup ou égal à 3 : Un sup ou égal à 0

1)b)
si n sup ou égal à 4
Un = 1/2Un-1 +n-2
n-1 sup ou égal à 3 d'ou Un-1 sup ou égal à 0
et donc Un sup ou égal à n-2

1) c)
La suite Un est croissante et en plus minorée par n-2 qui tend vers +infini; d'ou Un tend vers +infini.

[haricot29]

Pour la 2)a) je fais Vn+1 - Vn ?
Vn+1 - Vn = 4Un+1 -8(n+1) +24 - (4Un -8n+24)
= 4 (1/2Un + n-1) -8n -8 +24 -4Un +8n -24
= -2Un +4n -12

mais cela ne m'aide pas si ?

[haricot29]

Svp quelqu'un peut me filer un coup de main !!! :mur:

[haricot29]

s'il vous plait ! juste un coup de pouce....

[Quidam]

1) La suite Un definie par U0=1 et pr tt n €N, Un+1=1/2Un+n-1

Pour commencer, si tu voulais bien mettre des parenthèses là où il faut en mettre !
Tu as écrit : Un+1=1/2Un+n-1
Et ça veut dire :

Comme ça, cela n'a aucun sens bien sûr ! Mais je refuse de faire le moindre effort tant que cela n'est pas écrit correctement. Cela prend du temps d'essayer de deviner ce que tu as voulu dire !
Alors fais toi-même l'effort d'écrire ton énoncé comme il convient !
Est-ce : U(n+1)=(1/2)U(n)+n-1, c'est à dire : ?
Est-ce : U(n+1)=1/(2U(n))+n-1, c'est-à-dire : ?
Est-ce : U(n+1)=1/(2U(n)+n)-1, c'est-à-dire : ?
Est-ce : U(n+1)=1/[2U(n)+n-1], c'est-à-dire : ?

Bien sûr, en passant du temps, en analysant tes réponses, je pourrais peut-être finalement deviner ce que tu as voulu dire ! Mais je pense que c'est à toi de faire l'effort d'écrire correctement ton énoncé ! J'ai traduit ces 4 possibilités en Latex, pour que ce soit parfaitement clair pour toi, mais tu n'as pas besoin de connaître Latex ! Il suffit de mettre des parenthèses là où il faut ! La preuve, j'ai également tout écrit sans Latex, comme tu peux le constater !

[haricot29]

Dsl... J'ai bien retenue la leçon j'espere que c'est plus lisible maitenant mais je ne sais pas comment faire des supérieur ou égal quand je fais un sup ou égal dasn word est que je le colle ici ça ne marche pas ... :doh:

U(n+1)=(1/2)U(n)+n-1

Voila ce que j'ai réussi...
1)a) j'ai procédé par récurrence
Initialisation
pour n sup ou égal a 3 ; U3 = 7/8 sup ou égal à 0.
--> propriété vraie
Hérédité
soit n sup ou égal à 3
supposons Un sup ou égal à 0
montrons Un+1 sup ou égal à 0
Démo
Un sup ou égal à 0
1/2 U(n) sup ou égal à 0
1/2 U(n) + n-1 sup ou égal n-1 --> car n sup ou égal à 3
U(n+1) sup ou égal à 0
Conclusion
Pour tt n sup ou égal à 3 : U(n) sup ou égal à 0

1)b)
si n sup ou égal à 4
Un = 1/2U(n-1) +n-2
n-1 sup ou égal à 3 d'ou U(n-1) sup ou égal à 0
et donc Un sup ou égal à n-2

1) c)
La suite Un est croissante et en plus minorée par n-2 qui tend vers +infini; d'ou Un tend vers +infini.

Pour la 2)a) je fais V(n+1) - Vn ?
V(n+1) - Vn = 4U(n+1) -8(n+1) +24 - (4U(n) -8n +24)
= 4 (1/2U(n) + n-1) -8n -8 +24 -4U(n) +8n -24
= -2U(n) +4n -12

mais cela ne m'aide pas si ?

[Quidam]

Dsl... J'ai bien retenue la leçon

Je l'espère bien ! Que je ne t'y reprenne pas ! :ptdr:


1)a) est bon
1)b) est bon
1)c) est bon

Pour la 2)a) je fais V(n+1) - Vn ?
...
mais cela ne m'aide pas si ?

Je n'ai pas vérifié ton calcul, car même s'il est juste, il est exact que cela ne t'aide absolument pas !

Pour vérifier qu'une suite est géométrique, il faut chercher à prouver que le rapport est constant !
C'est donc que tu dois calculer !

Bon courage !

[haricot29]

Pour la 2)a) je fais V(n+1) - Vn ?
V(n+1) - Vn = 4U(n+1) -8(n+1) +24 - (4U(n) -8n +24)
= 4 (1/2U(n) + n-1) -8n -8 +24 -4U(n) +8n -24
= -2U(n) +4n -12
= -1/2 Vn

Donc Vn est bien une suite géométrique décroissante de raison -1/2 et de premier terme V0 = 28

[haricot29]

Hum je ne vois pas comment procéder pour faire la question 2)b)

[Quidam]

Pour la 2)a) je fais V(n+1) - Vn ?
V(n+1) - Vn = 4U(n+1) -8(n+1) +24 - (4U(n) -8n +24)
= 4 (1/2U(n) + n-1) -8n -8 +24 -4U(n) +8n -24
= -2U(n) +4n -12
= -1/2 Vn

Donc Vn est bien une suite géométrique décroissante de raison -1/2 et de premier terme V0 = 28

Non !

Tu as calculé V(n+1)-V(n) ! Très bien ! Mais c'est V(n+1)/V(n) qu'il faut calculer !

Qu'à cela ne tienne :

V(n+1)-V(n)=-1/2 V(n)
Donc :
V(n+1)=V(n)-1/2 V(n)=V(n)*(1-1/2)=V(n)*(1/2)
Donc Vn est bien une suite géométrique décroissante de raison +1/2 et de premier terme V0 = 28 !!!!

Donc :
A présent que tu as une expression de V(n) en fonction de n, tu n'as qu'à remplacer U(n) par sa valeur en fonction de V(n) !

[haricot29]

ok d'accord
Vn = 28 * (1/2)^n = 4U(n) -8n + 24
<=> 28*(1/2)^n +8n - 24 = 4Un
<=> Un = 7- (1/2)^n +2n -6 !
Et voila merci !

[haricot29]

quelqu'un peut m'aider pr la 2)c) car je ne sais pas comment on fait la somme d'une suite al a fois géo é arithmétique ?

[Quidam]

quelqu'un peut m'aider pr la 2)c) car je ne sais pas comment on fait la somme d'une suite al a fois géo é arithmétique ?

Fais la somme de la suite géométrique et celle de la suite arithmétique séparément !