Problème suite (décimal d'un rationnel)

[Alizéee]

Bonjour, j'ai besoin d'un coup de main pr un problème sur les suites:

1°Pour tout entier n>=1, on note Xn la n-ième décimale du développement décimal du rationnel 12/7
a) Démontrer que la (Xn) est une suite périodique
b) de façon analogue, justifier que la suite (Xn) des décimales d'un nombre rationnel est périodique à partir d'un certain rang

Je ne vois absolument pas comment faire ni même à quoi ressemble la suite Xn...
Aidez-moi s'il vous plait :triste:

[Alizéee]

Pour le a) est-ce qu'il suffit de dire que 12/7= 714285714 et étant donné que le nombre 714 se répète la suite est périodique???

[bombastus]

Bonjour,

12/7= 1,7142857142857
Donc X1=7, X2=1, etc...
Pour que la suite soit périodique, il faut trouver k tel que X(n+k)=Xn.
Et ici c'est le nombre 714285 qui se répète de façon périodique.

Par contre je ne vois pas comment le démontrer pour le moment...

[Alizéee]

Euh je ne comprends pas d'où vient le X(k+n)=Xn ??

[Quidam]

Bonjour, j'ai besoin d'un coup de main pr un problème sur les suites:

1°Pour tout entier n>=1, on note Xn la n-ième décimale du développement décimal du rationnel 12/7
a) Démontrer que la (Xn) est une suite périodique
b) de façon analogue, justifier que la suite (Xn) des décimales d'un nombre rationnel est périodique à partir d'un certain rang

Je ne vois absolument pas comment faire ni même à quoi ressemble la suite Xn...
Aidez-moi s'il vous plait :triste:

Essaye de faire la division à la main ! Tu comprendras pourquoi c'est périodique !

P.S. Evidemment, cela suppose que tu saches encore le faire. J'ai des élèves de première qui en sont totalement incapables, bien qu'ils aient appris cela en des temps lointains !

[Quidam]

Pour le a) est-ce qu'il suffit de dire que 12/7= 714285714 et étant donné que le nombre 714 se répète la suite est périodique???

Non, cela ne suffit pas !

Même si tu fais la division très loin, par exemple :
12/7=1,7142857142857142857142857142857142857142857142857142857

cela ne prouvera pas que cette belle régularité ne sera pas détruite un peu plus loin !

[Alizéee]

comment ca faire la division a la main ??
En posant l'opération comme en primaire ?

[chan79]

Bonsoir
lorsque tu fais une division, le reste doit toujours être plus petit que le diviseur
tu ne pourras pas toujours avoir des nombres différents les uns des autres et inférieurs à 7 par exemple (si tu divises par 7); donc quand tu divises un entier par un entier il y a toujours une période (éventuellement 0 si le nombre est décimal)
c'est peut-être une justification de ce genre qui est attendue; pas sûr ...

[Alizéee]

a d'accord je vais essayé merci
et pour la deuxième question une idée ?

[chan79]

c'est la même chose

[Alizéee]

ok merci je vais essayer d'arriver à quelque chose!