Probleme suite associee a une fonction

[Jackychan]

Je cale un peu sur un exercice de suite un peu d'aide me serais d'une grande utilité, j'ai ma fonction f(x):x-ln(x²+1) et Uo:1 et Un+1: f(un)


Ici a jai démarrer par :
Initialisation: U0=1 donc U0 [0:1]
Hérédité : supposons que pour un certain n, on ait Un [0:1]

J'ai essayé de faire ca :
Un+1-U0= U0-ln(Un²+1)-1
Un+1-1=1-ln(2)
Un+1=2-ln(2)

Je pense que c'est faux.
Merci d'avance

[Cheche]

f(x) = x - ln(x²+1)

| Uo = 1
| Un+1 = f(Un)

Quelle est ta question ?

[Jackychan]

Pardon, je dois démontrez par réccurence que pour entier n de N Un appartient a [0:1]

[Cheche]

Je n'ai pas trop d'idée

[Jackychan]

D'accord pas grave j' vais attendre d'autre réponses

[raph107]

Pardon, je dois démontrez par réccurence que pour entier n de N Un appartient a [0:1]

oui

un appartient à [0;1] donc on a:
0<= un <= 1 ce qui implique que 0<= un² <= 1 et 1<= un² + 1 <= 2 et comme la fonction ln est croissante, on en déduit:
ln(1) <= ln(un² + 1) <= ln(2).
Je te laisse continuer et conclure

[Cheche]

@raph107 Oui, mais tu as un "-" donc je pense que ça ne va pas fonctionner.

Je pense qu'il va falloir dériver la fonction et regarder les variations et en déduire
des bons résultats.

[raph107]

@raph107 Oui, mais tu as un "-" donc je pense que ça ne va pas fonctionner.

Je pense qu'il va falloir dériver la fonction et regarder les variations et en déduire
des bons résultats.

où est le "-"?

[Cheche]

f(x) = x - ln(x²+1)

Donc tu vas avoir :



et quand tu fais la somme, tu n'es pas dans [0;1].

[raph107]

f(x) = x - ln(x²+1)

Donc tu vas avoir :



et quand tu fais la somme, tu n'es pas dans [0;1].

f(x) = ln(x²+1) et non pas x- ln(x²+1). Le "-" correspond à une flèche (-->) et non pas au signe -

[Jackychan]

Désolé raph mais c'est bien un moins après le x la fonction est bien x-ln(x²+1), si sa peut vous aider sur l'intervalle [0:1] la fonction est du signe de 1 .

[Cheche]

Désolé raph mais c'est bien un moins après le x la fonction est bien x-ln(x²+1), si sa peut vous aider sur l'intervalle [0:1] la fonction est du signe de 1 .

Testons la dévirée :





Après factorisation :


Donc f est croissante sur [0;1].


Ainsi cela nous permet de dire que :

Pour tout
Pour tout

CQFD

[Jackychan]

Merci Cheche pour ta réponse, mais ce qui me gène ce que je doit rédigée une récurrence pour montrer que Un appartient a [0:1]

[Cheche]

Tu fais ta récurrence sur n.



CQFD.

[Jackychan]

Merci Cheche ta assurée, une derniere chose je dois déterminer la limite de la suite (Un) cela signifie que je doit déterminée la limite de la fonction ?