Probleme de spécialité TS ( arithmetique)

[sengirs]

Determiner les couples (a;b) d'entiers naturels non-nuls tel que 2m + 3d =78
Sachant que a>b, que m=PPCM (a;b) et que d=PGCD (a;b).

Merci d'avance pour votre aide...
sengirs

[becirj]

Bonsoir
On pose a=da' et b=db' ; a' et b' premiers entre eux
On a m=da'b'
L'équation est alors :2da'b'+3d=78 soit d(2a'b'+3)=78
d est donc un diviseur de 78=2 x 3 x 13.
Plusieurs cas possibles avec comme remarque que 2a'b'+3 est necessairement impair.
* d=2 et 2a'b'+3 =39 soit a'b' =18. a' et b' devant être premiers entre eux, on a les paires {1, 18} et {2,9} cequi donne pour les paires {a,b} :{2,36} et {4, 18}
* d=6 et 2a'b'+3=13 soit a'b'=5 donc une seule paire {1,5} et pour {a,b} : {6,30}
* d=26 et 2a'b'+3=3 a'b' =0 impossible.
On a donc 3 solutions

[sengirs]

merci beaucoup pour le coup de main.
bonne soirée
sengirs