Problème spé maths

[guigui51250]

Salut, je dois faire un sujet de bac de spé maths mais je n'arrive pas la dernière question, voici le problème :

Soit a un entier compris entre 1 et 2002, déterminer PGCD(a,2003).

ça j'ai fait ça fait 1 car 2003 est premier

En déduire qu'il existe un entier m tel que am congru à 1 modulo 2003.

ça j'ai fais avec Bezout

Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que, pour x compris entre 0 et 2002, ax congru à b modulo 2003.

c'est celle là que je n'arrive pas, j'ai fais ça :

am=1[2003] donc bam=b[2003] or ax=b[2003] donc bm=x[2003] donc ax=b[2003]

mais là je doute de mon raisonnement, est-ce bon? et sinon pouvez-vous m'aider svp

[bobdu67]

moi j'aurai raisonné par l'absurde...

[guigui51250]

euh si je pouvais éviter l'absurde ça m'arrangerai, j'aime pas trop ce type de raisonnement...

[regis183]

Pas compris ce que tu as fait.

Moi j'aurai posé x le reste de la division euclidienne de mb par 2003, soit mb=x[2003]. Tu vois imédiatement que amb=ax=b[2003]. Donc x est satisfaisant.

Il reste à montrer l'unicité, c'est à dire qu'en partant de y tel que ay=b [2003], tu aboutisses à x=y [2003]. Allons y:

ax=ay [2003]
a(x-y)=0 [2003] avec a<>0

Ici le piège serait de diviser par a ! En fait tu as le droit dans ce cas particulier car 2003 est premier ( tu apprendras dans le supérieur ce qu'est un anneau intègre, et qu'il n'admet pas de diviseurs de zéro).

Allons y à la main:

a(x-y)= k*2003, avec k;)Z

On a ( 2003|a(x-y) et pgcd(a,2003)=1 ) donc 2003|(x-y)

Finalement x=y [2003]

Ca te semble claire comme ça ? :hum:

[guigui51250]

ah ouè comme ça ça va, merci bien. Et ce que j'avais fait c'était un peu dans le meme genre que ce que tu as fait au début.

merci et bonne journée

[regis183]

Merci.
Dans ce que tu as fait, on ne comprend pas trop comment tu choisis x. On a l'inpression que tu pars de ax=b pour aboutir à ax=b :marteau:

A noter que tu peux également raisonner par dénombrement:

puisqu'en multipliant a par un nombre x de [0;2002] bien choisi, tu peux obtenir n'importe quel nombre b de [0;2002], alors cela implique l'utilisation de tous les nombres x de [0;2002] donc il n'en reste plus de disponible pour obtenir 2 fois le même nombre b.

Plus mathématquement, on dit que l'application x-> ax est bijective (car surjective entre 2 ensembles de même cardinaux). D'où l'injectivité.