Problème de récurrence

[zoe1993]

bonjour,
j'ai un problème dans cette exercice que je n'arrive pas :S
j'espère que quelqu'un pourra m'aider
n est un entier supérieur ou égal à 3. Sur un cercle on dispose dans l'ordre n points A1, A2,... An; on obtient ainsi les n sommets d'un polygone convexe inscrit dans les cercle. On note Dn le nombre de diagonales d'un tal polygone.
1/ En s'aidant d'une figure, donner les valeurs de D3, D4, D5 et D6.
2/ Passage de Dn à Dn+1; le polygone à n côtés A1, A2,... An étant tracé avec ses diagonales, on ajoute un n+1 point B que l'on place sur l'arc [A1;An] qui ne contient pas de sommet du polygone. En considérant les nouvelle diagonales que le point B permet de construire montrer que Dn+1 = Dn + n - 1
3/ Conjecturer une expression de Dn en fonction de N et la démontrer.
merci d'avance

[Sve@r]

On parle bien de diagonales et non de liens. Parce que, par exemple, un carré a 6 liens mais n'a que 2 diagonales.

Ce qui est important de noter, c'est que quand tu rajoutes un sommet, alors tu rajoutes (n - 2) diagonales qui partent de ce sommet... mais comme ce sommet vient s'interposer entre deux autres; ces deux autres qui ne sont plus adjacents ont maintenant le droit d'avoir une diagonale


Donc en fait, rajouter un sommet rajoute (n - 2 + 1) soit (n - 1) diagonales.

Pour la Q3, tu remarqueras que le nombre de diagonales c'est le nombre total de liaisons moins les liaisons qui joignent 2 sommets adjacents (ce qu'on appelle "cotés").
Le nombre total de liaisons, d'une figure à n cotés c'est
- le premier sommet qui va taper les n - 1 autres
- le second sommet qui va taper les n - 2 autres (puisque la première existe déjà)
- le 3° sommet qui va taper les (n - 3) autres
etc etc. Pour résumer, le nombre total de liaisons c'est 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) soit la somme des (n-1) premiers termes.
Calcule la formule de cette somme, t'auras le nombre de liaisons en fonction de n. Te suffit ensuite d'enlever n et t'auras le nombre de diagonales.