Problème probabilité

[t.itou29]

Bonjour,
Je suis tombé sur un problème de proba qui semble assez intéressant:

S=0
Tant que S<1:
k=aléa() (nombre aléatoire dans [0,1])
S=S+k
Fin
Afficher S

(En gros on ajoute des nombres aléatoires entre 0 et 1 jusqu'à dépasser 1)
Quelle est l'espérance du nombre S ?

Il semble que E(S)=e/2 mais j'ai vraiment du mal à trouver une méthode pour le prouver. Ça fait intervenir une suite de variables aléatoires... et je n'ai jamais fait d'exercices dessus.

(le problème vient d'ici https://brilliant.org/problems/well-that-was-unexpected/)

[Grimmys]

Sachant qu'il y a une infinité de valeurs possibles entre 0 et 1.... Ça ne facilite pas la chose.

[t.itou29]

Sachant qu'il y a une infinité de valeurs possibles entre 0 et 1.... Ça ne facilite pas la chose.

Oui c'est loin d'être évident :we: En pensant simplifier les choses, j'ai essayé de passer en discret pour voir ce que ça donne (en prenant par exemple une variable qui prend les valeurs 0, 1/10, 2/10,..., 1) mais c'est pas plus facile...

[zygomatique]

salut

une idée ::

tant que S = 1 on s'arrête ...

on peut donc considérer qu'on a "deux" coups :

le premier !!!! --> variable aléatoire X
le deuxième qui permet de dépasser 1 --> variable aléatoire Y

pour tout u dans [0, 1[ : P(X < u) = u

alors la probabilité de dépasser 1 est P(X < u)[1 - P(Y < 1 - u)] = u^2

... ouais bof ...


ou alors peut-être ::

S prend ses valeurs dans l'intervalle [1, 2]
soit s dans [1, 2]

P(1 < S < s) = P(X < u)P(1 - u < Y < s - u))

....

[Grimmys]

Ne serrait-il pas déjà possible de calculer une fréquence, en englobant ce programme dans une boucle qui l’exécuterais fois par exemple, et enregistrais à chaque fois le nombre de coups ?

[Axiom]

Salut à tous.. :happy:

Ce qui est marrant ici, c'est que si l'on fait une estimation du nombre de coups pour dépasser 1, je veux dire par là, si on compte le nombre de coups puis qu'on divise le tout par le nombre d'essais effectués. On obtient quelque chose qui semble se rapprocher de . Au passage, je confirme l'hypothèse faite par t.itou29, semble être égale à :happy:
Après, je connais pas grand chose en probabilité, mes hypothèses comportent sans doute des écueils... :ptdr: Mais bon, c'est vrai que ce problème est très intéressant et autant faire partager ce que l'on [pense] a[voir] trouvé.

Voici le code en java avec lequel j'ai fait mes estimations :

Code: Tout sélectionner

float S = 0;
float sigma = 0;
int compteur = 0;

for(int i = 0; i < 1000; i++) {
   while(S < 1) {
      S += Math.random();
      compteur++;
   }
   sigma += S;
   S = 0;
}
System.out.println("** "+sigma/1000+" **");
System.out.println("** "+(float) compteur/1000+" **");

[t.itou29]

À court d'idées (à vrai dire j'en avais pas une seule... :mur: ) je me suis résolu à cherché sur internet et j'ai trouvé ça: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,436119,436132
(Ça me rassure j'aurais jamais trouvé tout seul :lol3: )


Ça explique la remarque d'axiome sur le nombre moyen de "tirages" avant de dépasser 1 (bien égal à e) et ça permet même d'avoir la fonction de densité correspondant à la somme de n variables aléatoires suivant une loi uniforme ! Du coup il y doit avoir moyen de s'en servir pour répondre à la question !! :ptdr:

[Axiom]

Pour ma part, je suis peut-être très bête (j'en doute même plus parfois... :ptdr:) mais comment peut-on démontrer que pour une loi uniforme ?? :hein:
Sans doute par récurrence ici, mais j'ai dû mal à imaginer comment on peut le faire simplement sans faire intervenir la notion de convolution... :\ Parce que j'ai pas compris la démonstration géométrique proposée ici...

Après justement, (je dis peut-être de grosses bêtises... x) compte tenu de ce qu'on a ci-dessus, peut-être que le nombre moyen d'essais valant peut s'expliquer par ...

[Cauchy2010]

Pour ma part, je suis peut-être très bête (j'en doute même plus parfois... :ptdr:) mais comment peut-on démontrer que pour une loi uniforme ?? :hein:
Sans doute par récurrence ici, mais j'ai dû mal à imaginer comment on peut le faire simplement sans faire intervenir la notion de convolution... :\ Parce que j'ai pas compris la démonstration géométrique proposée ici...

Après justement, (je dis peut-être de grosses bêtises... x) compte tenu de ce qu'on a ci-dessus, peut-être que le nombre moyen d'essais valant peut s'expliquer par ...

Salut,
avant toute chose, il faut connaître la loi de la somme de n v.a uniformes iid.
En cherchant un peu, on va trouver le nom de Irwin-Hall et la réponse vient toute seule.
Remarque : ce n'est pas un sujet du niveau du lycée.
Enjoy !