"problème à prise d'initiative"

[aurore123]

Bonjour à tous! J'ai du mal à résoudre ce "problème à prise d'initiative" bien que dans l'énoncé une aide soit proposée. Pourriez-vous m'aider d'avantage je suis coincée ! Merci d'avance.
Voici l'énoncé :



Démontrer l'inéqualité suivante : pour tout x appartenant à [0;pi/4] tan x inférieur ou égal à (4/pi)x



Aide : on définit f(x)=tanx-(4/pi)x sur [0;pi/4]
On étudie le signe de f'(x) grâce au théorème de la bijection pour connaître les variations de f.



Moi j'ai trouvé f'(x)= 1+tan²x-(4/pi) C'est ça ?
Mais après je n'arrive pas à appliquer le théorème de la bijection.



J'ai aussi calculé :
f'(0) : =-0,27 (environ)
f'(pi/4) : = 0,73 (environ)
et j'ai résolu f'(x)=0 je trouve x=0,48 (environ)
Mais d'après ces résulats ma fonction n'est pas strictement monotone (décroissante sur [0;0,48] et croissante sur [0,48; pi/4]).
J'ai dû faire une erreur.



Merci pour votre aide

[Flodelarab]

Le théorème de la bijection te permet de prouver qu'il existe unique tel que f'(x)=0
Si ce n'était pas une bijection, peut etre que plusieurs x auraient fonctionné.
Si f'(x) n'etait pas monotone, idem.
Si f'(0) et f'(Pi/4) etaient du même signe, peut etre qu'aucun x n'aurait fait f'(x)=0.

Donc tu réunis toutes les hypothèses nécessaires, tu appliques le théorème et tu résouds f'(x)>0


Le fait de se restreindre à [0;Pi/4] est important