Problème pour un raisonnement par récurrence

[lisa22800]

Bonjour tout le monde, je viens d'arriver sur ce forum en vue d'un devoir maison de mathématique que j'ai du mal à comprendre, voici l'énoncé : (désolée d'avance pour les notations, je ne maîtrise pas encore le langage mathématique sur mon ordinateur) :

On considère la suite définie par
- U(0)= 1
- Pour tout entier naturel n, U(n+1)= U(n)/U(n) + 2

1°- Calculer les 5 premiers termes de la suite et conjecturer l'expression de U(n) en fonction de n.

2°- A l'aide d'un raisonnement par récurrence, déterminer l'expression de U(n) en fonction de n.


Alors voilà, j'ai trouvé pour les 5 premiers termes:
U(1)= 1/3
U(2)= 1/7
U(3)= 1/15
U(4)= 1/31
U(5)= 1/63

Je suppose que l'expression de U(n) en fonction de n est : 1/2^(n+1) - 1
( un sur deux puissance n plus un moins un, encore désolée ^^)

Ensuite pour la question 2, en posant P(n): " U(n)= 1/2^(n+1) - 1 ", j'arrive à démontrer que P(O) est vraie mais je bloque pour P(n+1)

Donc voilà, merci d'avance d'y répondre et au revoir :)

[Sve@r]

- Pour tout entier naturel n, U(n+1)= U(n)/U(n) + 2
...
Alors voilà, j'ai trouvé pour les 5 premiers termes:
U(1)= 1/3
U(2)= 1/7
U(3)= 1/15
U(4)= 1/31
U(5)= 1/63

Salut

Désolé de te contredire mais ça fait 3 (sous réserve que U(n) différent de 0)...

[uztop]

Salut,

ce que tu as fait est juste.
Pour répondre à la question 2, il faut calculer
On va donc remplacer par la valeur de l'hypothèse de récurrence.


Pour simplifier tout ça, on peut transformer l'expression en utilisant le fait que

[uztop]

Salut

Désolé de te contredire mais ça fait 3 (sous réserve que U(n) différent de 0)...

je suppose qu'il manque quelques parenthèses et que

[lisa22800]

Mille merci uztop, je saute de joie, ça faisait un petit bout de temps que je planchais sur cet exercice :)
et effectivement j'avais oublié les parenthèses
encore merci :)

[uztop]

tu as réussi à trouver le résultat?
Il faut commencer par tout mettre au même dénominateur dans et ensuite inverser les fractions comme je le dis dans le précédent post. Si on ne fait pas d'erreur de calculs avec tous les étages de fractions, on trouve le bon résultat.

[lisa22800]

oui encore merci j'ai trouvé après plusieurs fractions à quadruples étages ^^ encore merci, ça a été d'une aide très précieuse :)

[Sve@r]

je suppose qu'il manque quelques parenthèses et que

Oui j'avais bien compris. Mais si lisa22800 ne fait pas attention sur le forum, elle ne fera pas attention sur ses copies et la note sera implacable...