Probleme de position de droite

[JP57120]

L'espace est rapporté au repère (O;i;j;k).
Soit D la droite passant par le point A (1;-1;2) et de vecteur directeur u=3i+j-k, et D' la droite passant par le point B (8;-1;3) et de vecteur directeur v= -i+2j-3k.

Démontrer que les droites D et D' sont coplanaires.


Pour précisions, u,v,i,j et k sont des vecteurs (mais j'ai pas réussi à mettre les flèches au dessus :$).

Je sais que pour montrer qu'elles soient coplanaires, il faut prouver qu'elles soient parallèles ou sécantes. Or, elles sont pas proportionnelles donc pas parallèles. Il me reste donc juste à prouver qu'elles sont sécantes mais je n'y arrive pas.

On m'a déjà proposé d'écrire les équation paramétriques mais je suis en première donc je ne sais pas c'est quoi. Svp :$

[Cheche]

Salut,

Sécante = un point en commun = il existe M(x;y;z) qui vérifie l'équation de D et de D'

[JP57120]

oui je suis d'accord mais je n'y arrive pas . :( je n'arrive pas à prouver. tu pourrais m'aider stp

[Cheche]

Trouver l'équation d'une droite passant par le point A (1;-1;2) et de vecteur directeur u=3i+j-k.

Je crois que tu as vu en cours le produit scalaire et le déterminant de deux vecteurs.

[JP57120]

Beh moi j'avais écris

AM = k u
BM = k v

avec M(x,y,z)

d'où j'avais AM (x-1,y+1,z-2) = k (3i + j - k)
et BM (x-8,y+1,z-3) = k (-i +2j -3k)

[Cheche]

Ok, c'est pas mal ce que tu as fait, MAIS tu as plusieurs solutions :

(Fait la différence entre les deux k que tu as écris, tu peux noter k et k')

La première
En identifiant, les coordonnées (x-1 = 3*k etc ...), tu obtiens un système de 6 équations à 5 inconnues (x,y,z,k,k') : Tu essayes de résoudre.

La deuxième
AM = k * u AM ^ u = 0 (je parle ici du produit vectoriel)
BM = k' * v BM ^v = 0
Tu vas ici obtenir 6 équations à 3 inconnus (x,y,z)

La troisième
En utilisant le produit scalaire,
AM = k * u AM.u = ||AM||*||u||
BM = k' *v BM.v = ||BM||*||v||

Tu obtiens donc un système de 2 équations à 3 inconnus (peut-être compliquer).


P.S. : Si tu connais le produit vectoriel, alors je te conseille la deuxième solution.

[Cheche]

Re,

J'ai oublier de préciser quelque chose de très important.

Tu travailles ici en trois dimension (x,y,z) donc une droite est représentée par un système de deux équations.

[JP57120]

Beh je trouve ça:

3k1 + k2 = 7
k1 - 2k2 = 0
-k1 + 3k2 = 1

et je trouve k1 = 2 et k2 = 2

mais après ?

[Imod]

C'est plutôt k2=1 !

Ensuite tu trouves les coordonnées de AM puis de M et c'est fini .

Imod