Problème de polynômes égaux

[gilonsophie19]

Bonjour !
Je ne comprend pas la matière des polynômes égaux ! Pourriez-vous me l'expliquer comme si j'avais 4 ans?! Merci exemple proposé: (a+b)x3+dx+3 égal (2a-c)x2-2b+a
Puis-je dire que a+b est égal à -1, si oui pourquoi ?
Ensuite 2a-c est-ce égal à 1?
Voilà en gros, je ne comprends pas ! S'il vous plaît aidez-moi ! Merci !
Sophie

[laetidom]

Salut,

Tu as si je comprends bien ? . . .

Si c'est ça, je dirais déjà que

[gilonsophie19]

Oui, c'est ça !

[laetidom]

Oui, c'est ça !

Je dirais que par la méthode d'identification . . .

Tu dois trouver a, b, c, d . . . ? Et tu n'as que ça comme information dans l'énoncé ?


J'aurais dit aussi puisque a+b affecté à du à gauche de l'égalité et n'a pas de membre équivalent en à droite de l'égalité . . .

[gilonsophie19]

oui, c'est exact, mais comment sais-tu que 3 est égal à -2b+a

[laetidom]

oui, c'est exact, mais comment sais-tu que 3 est égal à -2b+a

car 3 n'est pas affecté à x de n'importe quel exposant et qu'en face -2b + a idem ...

[gilonsophie19]

et dx non plus n'a pas d'exposant

[laetidom]

et dx non plus n'a pas d'exposant

oui mais d'après ce que je comprends, dx c'est d fois x

alors que 3 n'est pas affecté à x
et -2b+a n'est pas affecté à x non plus . . .

[gilonsophie19]

ok, je comprend ! alors on pourrait dire 2a-c a une valeur également?

[laetidom]

ok, je comprend ! alors on pourrait dire 2a-c a une valeur également?

[gilonsophie19]

Grand merci !!! Bisous doux
Cordialement,
Sophie

[laetidom]

Grand merci !!! Bisous doux
Cordialement,
Sophie

Très content que tu ai compris !

Quant à moi, j'ai trouvé :
a = 1
b = - 1
c = 2
d = 0



vérification :



soit 3 = 2 + 1 = 3 ===> l'égalité est vérifiée avec a, b, c, d trouvés !

Bonne soirée et @ la prochaine !

[Lostounet]

Bonjour !
Je ne comprend pas la matière des polynômes égaux ! Pourriez-vous me l'expliquer comme si j'avais 4 ans?! Merci exemple proposé: (a+b)x3+dx+3 égal (2a-c)x2-2b+a
Puis-je dire que a+b est égal à -1, si oui pourquoi ?
Ensuite 2a-c est-ce égal à 1?
Voilà en gros, je ne comprends pas ! S'il vous plaît aidez-moi ! Merci !
Sophie

Bonjour Sophie,

Voici une seconde explication complémentaire:

Ce qu'il faut savoir, c'est qu'un polynôme est une expression faisant intervenir des nombres appelés coefficients (ici les coefficients sont (a + b), d et 3 à gauche et (2a - c), et (-2b+a) à droite. L'inconnue est x.
Dans ce qui suit, je vais noter P(x) = (a + b)x^3 + dx + 3
et Q(x) = (2a - c)x^2 - 2b+a

Quand on te dit qu'il faut trouver les valeurs de a et b et c pour lesquels il est important de souligner que l'on souhaite que l'égalité soit vraie quel que soit x.

Cela veut dire que les deux polynômes doivent donner, pour un x choisi, systématiquement la même valeur.

*) Par exemple quand x = 0, on veut que P(0) = Q(0) c'est à dire que (a + b)*0^3 + d*0 + 3 = (2a - c)*0^2 - 2b + a

En simplifiant, on tire de cela: 3 = -2b + a

*) Quand par exemple x = 1, on veut P(1) = Q(1) c'est à dire (a + b)*1^3 + d*1 + 3 = (2a - c)*1^2 - 2b + a
En simplifiant, on tire: a + b + d + 3 = 2a - c - 2b + a puis en ramenant tout du même coté par soustraction:

2a - c - 2b - a - b - d - 3 = 0 ie a - c - d - 3b - 3 = 0

*) Puisqu'on dispose de quatre "inconnues" (a b c et d), il faut généralement disposer de 4 relations entre elles afin de pouvoir les trouver.
On peut prendre par exemple P(2) = Q(2) puis P(-1) = Q(-1) et faire ce qu'on vient de faire. Puis résoudre le système d'équations qui s'ensuit.

Méthode 2:
La méthode de Laetidom repose sur un résultat propre aux polynômes: un polynôme est entièrement déterminé par ses coefficients. Dire que P = Q, c'est dire que P et Q sont en fait un seul et même polynôme ! Ce qui veut dire qu'ils ont exactement les mêmes coefficients.

Ce constat permet de dire qu'en fait le coefficient devant x^3 de gauche et égal à celui de x^3 à droite, idem pour x^2 idem pour x^1 =x et enfin idem pour x^0 (le terme constant).
Cette propriété permet d'écrire d'office, en égalisant les coefficients:
(a + b) = 0
0 = 2a - c
d = 0
-2b + a = 3

C'est plus rapide comme méthode, mais cela marche grâce à ce résultat. Les deux permettent d'aboutir à la même chose bien entendu.
En conclusion, on trouve:
a = 1
b = -1
c = 2
d = 0

Ce qui signifie que P(x) = (a + b)x^3 + dx + 3 = 0x^3 + 0x + 3
P(x) = 3
Q(x) = 3

P et Q sont en fait deux polynômes constants ! (C'est une coïncidence)

[gilonsophie19]

Merci beaucoup Lostounet ! J'adore ce site, les personnes que j'y rencontre sont tellement spontanées ! Bon après-midi et bon week-end !
Cordialement,
Sophie

[laetidom]

Merci Sophie pour les compliments !! Ca nous touche vraiment, merci !!

[gilonsophie19]