Problème : le paravent chinois

par **Rowman** » 04 Oct 2006, 17:15

Bonjour, voici un exercice qui me pose problème :

Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rectangulaires de mêmes dimensions.
Les petits côtés, qui seront en contact avec le sol, mesurent 1 mètre.
Ce paravent découpe sur le sol un trapèze ABCD (on supposera que les angles ABC et DCB ont même mesure), ce polygone est le polygone de "sustentation".

Comment choisir les angles ABC et DCB pour que le polygone de "sustentation" ABCD ait une aire maximale.

Voilà, j'ai déjà cherché des solutions avec plusieurs personnes de ma classe mais sans succès alors toute aide sera le bienvenue.

par **Flodelarab** » 04 Oct 2006, 17:23

Rowman a écrit:Bonjour, voici un exercice qui me pose problème :

Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rectangulaires de mêmes dimensions.
Les petits côtés, qui seront en contact avec le sol, mesurent 1 mètre.
Ce paravent découpe sur le sol un trapèze ABCD (on supposera que les angles ABC et DCB ont même mesure), ce polygone est le polygone de "sustentation".

Comment choisir les angles ABC et DCB pour que le polygone de "sustentation" ABCD ait une aire maximale.

Voilà, j'ai déjà cherché des solutions avec plusieurs personnes de ma classe mais sans succès alors toute aide sera le bienvenue.

Soit H le projeté de B sur AD
L'aire est donc la somme de 2 triangles rectangles identiques et d'un rectangle central.

tout dépend de l'angle ABH qui est ABC a qui on a oté 90°

Aire= AHxBH/2+BHxBC+AHxBH/2
Aire= AHxBH + BHxBC
Aire= BH (AH+BC)

Le tout est de calculer AH et BH.

ok?

par **Flodelarab** » 04 Oct 2006, 17:39

Je rajoute une couche.

tout dépend de l'angle ABH

cos(ABH)= ?
sin(ABH)=?

2sin(x)cos(x)=?

par **Imod** » 04 Oct 2006, 17:48

Il me semble que le problème se ramène à étudier le maximum de

.

Imod

par **Flodelarab** » 04 Oct 2006, 17:51

Imod a écrit:Il me semble que le problème se ramène à étudier le maximum de .

Imod

N'est ce point ce que g écrit très cher ?

par **Imod** » 04 Oct 2006, 18:03

Désolé , j'ai vendu la mêche :cry:

Je m'étais intéressé il y a quelque temps au problème de l'aire maximale cernée par un polygone de périmètre donné et j'ai gardé des automatismes .

Je ne le ferais plus , juré :scotch:

Imod

par **Flodelarab** » 04 Oct 2006, 18:09

Imod a écrit:Désolé , j'ai vendu la mêche

Je m'étais intéressé il y a quelque temps au problème de l'aire maximale cernée par un polygone de périmètre donné et j'ai gardé des automatismes .

Je ne le ferais plus , juré :scotch:

Imod

T'as bien fait!
Dans la gégène, ya pas plaisir!

par **Rowman** » 07 Oct 2006, 07:42

Bon voilà, c'est encore moi. J'ai presque terminé l'exercice mais je me trouve devant un petit problème de justification.

J'ai dis que x était l'angle ABH (ou l'autre vu que c'est pareil).
J'ai calculé l'aire du trapèze et je trouve cos(x)*(sin(x)+1)
J'ai posé f(x)=cos(x)*(sin(x)+1) et j'ai calculé la dérivée. Je trouve -sin²(x)-sin(x)+cos²(x) ce qui est égale à -sin²(x)-sin(x)+1-sin²(x)
Ensuite je pose X=sin(x) et je me retrouve avec ceci -2X²-X+1
Les racines de ce polynome sont -1 et 1/2

Mon problème est que je ne sais pas sur quel intervalle étudier la fonction, pour l'instant je trouverais que l'aire du trapèze est maximale pour x=1/2 donc que les angles doivent être de pi/3 (je sais pas si j'ai juste)
Un peu d'aide serait la bienvenue. Merci d'avance.

par **Zebulon** » 07 Oct 2006, 09:54

Bonjour,
je propose de reprendre un peu. On sait exprimer l'aire du trapèze en fonction de l'angle

.
Soit

l'angle orienté.
On s'intéresse à l'étude de l'aire du trapèze pour

(

si le paravent est totalement fermé et

s'il est totalement ouvert). On ne s'intérsse pas au cas

car alors la situation est symétrique.
On peut donc poser

.
L'aire est maximale si et seulement si f est maximale.

Etude des maxima de f :

Dérivée de f :
Pour tout

.
Soit

.

.
Soit

.
Alors on a

.

Vous devez maintenant étudier le signe de g en fonction de x, et en déduire le signe de f' en fonction de

puis les variations de f en fonction de

, et enfin les valeurs de

pour lesquelles f est maximale.

Bon courage! :we:

par **Flodelarab** » 07 Oct 2006, 10:46

Rowman a écrit:Bon voilà, c'est encore moi. J'ai presque terminé l'exercice mais je me trouve devant un petit problème de justification.

J'ai dis que x était l'angle ABH (ou l'autre vu que c'est pareil).
J'ai calculé l'aire du trapèze et je trouve cos(x)*(sin(x)+1)
J'ai posé f(x)=cos(x)*(sin(x)+1) et j'ai calculé la dérivée. Je trouve -sin²(x)-sin(x)+cos²(x) ce qui est égale à -sin²(x)-sin(x)+1-sin²(x)
Ensuite je pose X=sin(x) et je me retrouve avec ceci -2X²-X+1
Les racines de ce polynome sont -1 et 1/2

Mon problème est que je ne sais pas sur quel intervalle étudier la fonction, pour l'instant je trouverais que l'aire du trapèze est maximale pour x=1/2 donc que les angles doivent être de pi/3 (je sais pas si j'ai juste)
Un peu d'aide serait la bienvenue. Merci d'avance.

Tu te tortures pour rien.
Tu sais que ton angle ABH est compris entre -Pi/2 et Pi/2 (Zébulon, pkoi Pi/4 ?).

ta dérivée est négative si sin(x) est entre 1/2 et 1 et positive si sin(x) entre -1 et 1/2.
Donc ta fonction est croissante sur [-Pi/2;Pi/6] et décroissante sur [Pi/6;Pi/2].
On en déduit un maximum pour ABH de 30°
On en déduit un maximum pour ABC de 120°

L'ouverture est de 120°

par **Zebulon** » 07 Oct 2006, 10:56

Flodelarab a écrit:Tu sais que ton angle ABH est compris entre -Pi/2 et Pi/2 (Zébulon, pkoi Pi/4 ?).

Si on regarde

entre

, alors on trouve que l'aire est maximale pour

et pour

.

par **Flodelarab** » 07 Oct 2006, 10:59

Zebulon a écrit:Si on regarde entre , alors on trouve que l'aire est maximale pour et pour .

est hors du champ d'étude.

entre

C toi meme qui l'écris....

par **Zebulon** » 07 Oct 2006, 11:02

Ah oui, pardon, je me suis trompée, ce sont bien des

. Je corrige mon message.

par **Zebulon** » 07 Oct 2006, 11:05

je propose de reprendre un peu. On sait exprimer l'aire du trapèze en fonction de l'angle

.
Soit

l'angle orienté.
On s'intéresse à l'étude de l'aire du trapèze pour

(

si le paravent est totalement fermé et

s'il est totalement ouvert). On ne s'intérsse pas au cas

car alors la situation est symétrique.
On peut donc poser

.
L'aire est maximale si et seulement si f est maximale.

Etude des maxima de f :

Dérivée de f :
Pour tout

.
Soit

.

.
Soit

.
Alors on a

.

Vous devez maintenant étudier le signe de g en fonction de x, et en déduire le signe de f' en fonction de

puis les variations de f en fonction de

, et enfin les valeurs de

pour lesquelles f est maximale.

par **Flodelarab** » 07 Oct 2006, 11:11

Zebulon a écrit:Soit . .

Equivalence abusive ...
(écrite comme ça)

par **Zebulon** » 07 Oct 2006, 11:24

C'est vrai que c'était abusif.
Mais si je dis :
soit

, soit

, alors

ça me paraît juste. C'est bon?

par **Flodelarab** » 07 Oct 2006, 11:45

Zebulon a écrit:C'est vrai que c'était abusif.
Mais si je dis :
soit , soit , alors

ça me paraît juste. C'est bon?

ok

Pour celle là c pareil ... t'as eu de la chance. T'aurais écris la meme chose avec des inférieurs, c t faux ....

par **Zebulon** » 07 Oct 2006, 11:54

Flodelarab a écrit:Pour celle là c pareil ... t'as eu de la chance. T'aurais écris la meme chose avec des inférieurs, c t faux ....

Maintenant, elle est juste puisque j'ai dit avant "soit

"

Problème : le paravent chinois

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