Problème paramètres équation second degré

[Inception003]

Bonsoir !

Je dispose d'une équation: mx²+2mx+1
Je dois trouver un m tel que les racines de l'équation soient 2 racines distinctes se situant dans l'interval ]-2,0[
Tout d'abord j'ai cherché un delta ( 4m²-4m ), je mets comme quoi il doit être positif ( pour avoir 2 racines ) et donc avoir une première condition sur m, mais qui ne m'avance pas à grand chose..

Je ne sais pas comment faire entrer la condition de l'interval pour les racines..


Bien à vous,
Bonne soirée

[LjjMaths]

Tu dois trouver UN m
Dinc tu peux tester différentes valeurs
Ca marche pour m=1.5 par exemple tu as deux solutions ~-0,4 et ~1,6

[Inception003]

Non justement je dois trouver plusieurs valeurs de m.. je pense que faire en tâtonnement n'est pas la bonne solution ..

[LjjMaths]

Ah y avais marqué "un " m

Ç sur Que à taton Ca va pas le faire

Du coup la seconde condition ca peut être
-2<x1<x2<0
Avec x1=-b-V(delta)/2a
Donc je pense qu'il faut remplacer delta par 4m^2-4m

[Inception003]

Pas bête, je vais tester ca de suite

[Ben314]

Salut,
Tu peut effectivement calculer les racines puis regarder à quelle conditions elle sont comprises entre -2 et 0, mais avec un peu de réflexion, on peut faire plus simple :
Si m=0, clairement ça peut pas marcher puisque l'équation n'a pas de racine.
Si m est non nul, l'équation est équivalente à x²+2x+1/m=0.
Or la fonction x->f(x)=x²+2x+1/m est décroissante sur ]-oo,-1] puis croissante sur [1,+oo[ (le 1, c'est le -b/(2a) ).
Donc elle s'annule au plus une fois sur chaque intervalle et, pour qu'elle s'annule sur ]-2,-1[, il faut que f(-2)>0 et que f(-1)<0 et pour qu'elle s'annule sur ]-1,0[, il faut que f(-1)<0 et que f(0)>0.
Comme f(-2)=f(0) (symétrie de la parabole), ça te fait en fait 2 conditions très simples : f(-1)<0 et f(0)>0.

[Inception003]

Salut,

Okey mais si je fais la condition: f(0) > 0 , mes m s'annulent..

[Lostounet]

Salut,

Okey mais si je fais la condition: f(0) > 0 , mes m s'annulent..

Le fait que l'inverse d'un nombre m soit positif te donne quand même un renseignement sur le signe de m non?

[zygomatique]

salut

pour poursuivre sur le travail de ben314 (et enfoncer le clou car c'est important au lycée)

pour avoir un trinome ... il faut un trinome !!! on encore il faut des x^2

donc déjà on suppose m non nul


ensuite pour continuer sur la manip de ben mais sans son (fin !!!) raisonnement :



1/ pour avoir deux racines il faut 1 - 1/m > 0 (pour pouvoir reconnaitre a^2 - b^2)

2/ pour avoir deux racines entre -2 et 0 il faut que x + 1 soit entre -1 et 1

3/ donc que 1 - 1/m soit entre 0 et 1 (car la fonction racine carrée envoie [0, 1] dans [0, 1]

[Tiruxa47]

Bonjour,
Il est possible aussi de travailler avec la somme S et le produit P des racines
Les conditions 0>x'>-2 et 0>x">-2
donnent 0>S>-4 et 0<P<4
Or S=-b/a = -2 donc S est bien dans ]-4;0[
et P=c/a =1/m
la condition est donc 0<1/m<4

[chan79]

la condition est donc 0<1/m<4

salut
vois avec m=1/2

[Ben314]

Les conditions 0>x'>-2 et 0>x">-2
donnent 0>S>-4 et 0<P<4

Effectivement, elles "donnent" (i.e. elles impliquent), mais ce n'est pas une équivalence.

[Lostounet]

la condition est donc 0<1/m<4

salut
vois avec m=1/2

On s'en sort en imposant de plus l'existence de deux racines réelles, ie , non?

Ainsi, et
ayant pour solution

Puis il faudra se trimbaler la réciproque?

[Tiruxa47]

Les conditions 0>x'>-2 et 0>x">-2
donnent 0>S>-4 et 0<P<4

Effectivement, elles "donnent" (i.e. elles impliquent), mais ce n'est pas une équivalence.

Effectivement , pour avoir une équivalence je pense qu'il faut dissocier les deux inégalités :

x'<0 et x"< 0 équivalent à P >0 et S <0 équivalent à m >0 (cond 1)

x'>-2 et x">-2 equiv à x'+2>0 et x"+2>0 equiv à P' >0 et S'>0 (cond 2)
[si l'on note P'=(x'+2)(x"+2) et S'=x'+2+x"+2]

Or P'=P+2S+4= P puisque S=-2
et S'= S+4=2

donc la condition (2) equiv à P>0 equiv à m >0 equiv à (1)

En résumé pour m >0 , x' et x", s'ils existent, sont dans les intervalles voulus

De plus delta >=0 equiv à m<0 ou m>=1, d'où m>=1 est la condition cherchée

[chan79]

d'où m>=1 est la condition cherchée

salut
pour m=1, il y a une seule racine

[zygomatique]

il me semble que c'est tout quoi teceque je disais à 12h08

et qui est un raisonnement qu'un élève de lycée ""pourrait"" être capable de tenir (résultats élémentaire = < niveau première)

le raisonnement (très bon !!) de Ben me semble limite pour un élève de lycée ... qui nécessite l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires utilisé ""seulement" en terminale