Problème ouvert, Tétraèdre dans un cube

[TS4ENGALERE]

Bonjour,
Voici mon problème:

ABCDEFGH est un cube , M est un point mobile de la demi-droite (CG) . on s'intéresse à l'intersection du cube et du tétraèdre MCBD. OU placer le point M pour que le volume de cette intersection soit le tiers du volume du cube ?

Et voici mes recherche:


Volume cube = a^3
Volume tétraèdre = base * hauteur / 3
h=CG+GM=a+y



Volume du grand tétraèdre (T1) :

V(T1)= (a²/2)*(a+y)*(1/3)
=a²/6*(a+y)
=(a^3+a²y)/6




D'après le théorème de Thalès :


On se place dans le triangle MBC. On se place dans le triangle MCD.

Donc MG/MC=MJ/MB=GJ/BC Donc MG/MC=MI/MD=IG/DC

On sait que MG=y On sait que MG=y
MC=(a+y) MC= (a+y)
BC=a DC=a

On a donc : y/(a+y)=GJ/a On a donc : y/(a+y)=IG/a
Alors GJ=ay/(a+y) Alors GI=ay/(a+y)







D'après le théorème de Pythagore :



(AB)² + (AC)² = (BC)²

On se place dans le triangle GIJ.

On sait que GJ=a*y/(a+y)
On sait que GI=a*y/(a+y)
donc (GI)²+(GJ)²=(IJ)²

(IJ)²= (ay/(a+y))² + (ay/(a+y))²
(IJ)²=2a²*y²/(a+y)²
(IJ)=


Volume petit tétraèdre (T2) = base * hauteur / 3
Avec base= (a*y/(a+y))² *1/2
Hauteur= y

donc : V(T2)=(a*y/(a+y))² 1/2 y*1/3
=(a²y^3)/(6(a+y)²)


Volume de la figure dans le cube



V(T0)=V(T1)-V(T2)= a²/6*(a+y)-(a²y^3)/(6(a+y)²)
=(a^3+a²y)/6 –( a²y^3)/(6(a+y)²)
=((a+y)²(a^3+a²y)/(6(a+y)²) – (a²y^3)/(6(a+y)²)








Merci de bien vouloir m'aider à avancer, ce problème est à rendre pour le 28/09/17.

[Bigorneau]

Bonsoir,

Quand vous dîtes "le volume de l'intersection entre le cube et le tétraèdre", vous voulez dire "le volume du cube et du tétraèdre" ?

Si oui,

, où et , avec .

Nous imposons .

Donc , à résoudre pour . ( peut être en dehors du cube mais appartient à la demi-droite CG).

Si non,

Il faut étudier le volume de la nouvelle figure géométrique car il y a une intersection entre BM et FG (il ne s'agit plus d'un tétraèdre).

[TS4ENGALERE]

Bonsoir,

sur la figure que nous a donné le prof, le point M est hors du cube donc j'ai fais V(cube)/3 = V(grand tétraèdre) - V(petit tétraèdre ( calculé grâce au théorème de Thalès))

[Bigorneau]

Oui, on peut d'abord regarder si (ce la revient à solutionner le cas simple écrit ci-haut), sauf qu'il n'existe pas de solution.

Alors , et nous étudions

où .

(volume du grand tétraèdre)

(volume du petit tétraèdre, point intersection entre DM et GH ; point d'intersection entre BM et FG)

Il reste à exprimer y et z en fonction de x.

Faites un repère cartésien. L'équation des droites BM et DM peuvent être écrites, puis évaluez au point G pour trouver y et z.

[chan79]

Volume de la figure dans le cube



V(T0)=V(T1)-V(T2)= a²/6*(a+y)-a²y^3/(6(a+y)²)
=(a^3+a²y)/6 – a²y^3/(6(a+y)²
=((a+y)²(a^3+a²y) – a²y^3)/(6(a+y)²

salut
un 6 a disparu à la dernière ligne
Ton raisonnement est correct
Tu dois trouver y=a*N avec N = nombre d'or=

[TS4ENGALERE]

Volume de la figure dans le cube



V(T0)=V(T1)-V(T2)= a²/6*(a+y)-a²y^3/(6(a+y)²)
=(a^3+a²y)/6 – a²y^3/(6(a+y)²
=((a+y)²(a^3+a²y) – a²y^3)/(6(a+y)²




salut
un 6 a disparu à la dernière ligne
Ton raisonnement est correct
Tu dois trouver y=a*N avec N = nombre d'or=

salut, on a pas encore entendu parler des nombre d'or, je pense aussi trouvé un résultat sous forme Y=a*N avec N mais je ne vois pas comment ^^

V(T0)=V(T1)-V(T2)= a²/6*(a+y)-(a²y^3)/(6(a+y)²)
=(a^3+a²y)/6 –( a²y^3)/(6(a+y)²)
=((a+y)²(a^3+a²y)/(6(a+y)²) – (a²y^3)/(6(a+y)²)

[TS4ENGALERE]

Oui, on peut d'abord regarder si (ce la revient à solutionner le cas simple écrit ci-haut), sauf qu'il n'existe pas de solution.

Alors , et nous étudions

où .

(volume du grand tétraèdre)

(volume du petit tétraèdre, point intersection entre DM et GH ; point d'intersection entre BM et FG)

Il reste à exprimer y et z en fonction de x.

Faites un repère cartésien. L'équation des droites BM et DM peuvent être écrites, puis évaluez au point G pour trouver y et z.

Notre prof nous avais guidé sur le même chemin que Chan79, juste je n'arrive pas a isoler le Y
pour avoir un résultat de forme Y=a*N

[chan79]

tu as écrit
((a+y)²(a^3+a²y)/(6(a+y)²) – (a²y^3)/(6(a+y)²)

cela donne




il faut résoudre



je te laisse finir

[TS4ENGALERE]

Merci de m'avoir aidé, je ne met pas ma démarche car je sais que certain de mes camarades ne vont pas se gêner pour tout recopier sans faire aucun effort, mais j'en suis arrivé à Y= a ((racine(5)+1)/2).

Encore merci

[chan79]

mais j'en suis arrivé à Y= a ((racine(5)-1)/2).

Encore merci

Y= a ((racine(5)+1)/2)

[TS4ENGALERE]

mais j'en suis arrivé à Y= a ((racine(5)-1)2).

Encore merci

Y= a ((racine(5)+1)/2)

oui je viens de me rendre compte de mon erreur en recopiant. Merci