Un problème ouvert

[Zweig]

Non du tout, Putnam est une compétition américaine et l'exercice de Putnam c'était le cas où

[benekire2]

ma solution en passant par héron était donc compliquée mais juste alors?

Concernant le produit vectoriel, je crois qu'il n'est défini que dans l'espace ??

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel

[benekire2]

j'oublie, l'identification n'est pas obligatoire ici et même pénible, Il suffit de localiser G sur deux droites...

[Timothé Lefebvre]

Concernant le produit vectoriel on a dit qu'on introduisait une cote nulle ...

[Zweig]

Bah si ta côte est nulle, tu n'es pas dans l'espace, et le produit vectoriel n'a pas lieu d'être car le produit vectoriel de u et v est le vecteur orthogonal au plan dirigé par u et v et s'il n'y a pas de "profondeur", je ne vois pas comment un vecteur peut être orthogonal à un plan ...

[benekire2]

Je ne sais pas , certaines personnes sont certainement plus au point sur le produit vectoriel que moi... Toujours est-il, le problème que j'avais posé la dernière fois sur les barycentres est resté sans réponse, je réitère :

ABCD est un parallélogramme, I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. G l'intersection de (AJ) et (DI). Exprimez G barycentre de ABCD affectés de coefficients à préciser.

Bien sur, il existe une méthode par Thalès, mais nous cherchons ici a résoudre uniquement avec les barycentres niveau première.

[Ben314]

Pour benekire2 :


(vrai) triangle quelconque, tels que , , , .

On a donc


à condition que c'est à dire que les droites et ne soient pas parallèles. On a donc
et d'où, pour des raisons de symétrie,
et puis et
Remarque : Toute la partie çi dessus peut être traitée à l'aide de Barycentres.

Si on note l'aire d'un triangle (PQR), on a donc :
i) donc
(même hauteur, base multipliée par ...)
ii) donc
(même base, hauteur multipliée par ... via thalès ; on suppose a distinct de 1)
iii) donc
(même base, hauteur multipliée par ... via thalès)

Il n'y a plus qu'à regrouper/simplifier pour trouver que :

ce qui prouve en particulier que sont alignés ssi (théorème de ...)

[benekire2]

Ca va me faire de la lecture :) Merci beaucoup :we:

[benekire2]

Maintenant que j'ai fini de tout lire, je trouve ça assez tricky et très astucieux bien que la preuve se comprenne facilement. Encore une fois bravo :lol3: c'est pas de moi que serait venu ce caviar ! Après peut-être une théorie se cache derrière ...

[Ben314]

Maintenant que j'ai fini de tout lire, je trouve ça assez tricky et très astucieux bien que la preuve se comprenne facilement. Encore une fois bravo :lol3: c'est pas de moi que serait venu ce caviar ! Après peut-être une théorie se cache derrière ...

Le seul truc "caché derrière", c'est pour le début, la notion de bases d'un e.v. et, pour la fin {(i), ii) et iii)}, le fait que la surface c'est un déterminant et que le déterminant est n-linéaire.

Donc, si tu veut que tout ça "coule total de source", ben tu écrit que la surface de A"B"C" c'est lambda fois la surface de ABC où lambda est la valeur absolue du déterminant des coordonnées des vecteurs A"B" et de A"C" exprimés dans la base (AB,AC). (le signe du déterminant te disant si les triangles ABC et A"B"C" sont orientés dans le même sens)

[benekire2]

Pour le début j'ai compris le principe caché derrière puisque quand on travaille dans le plan avec les vecteurs on aime bien que tout soit exprimé simplement et là on cherche a exprimer AB' en fonction de AA' ce qui est naturel mais par contre comment y parvenir c'est une autre histoire ^^ Après pour le déterminant , j'avais pas de suite fait le lien ..

PS. Nottament d'où vient l'idée de partir de ?

[Ben314]

Pourtant, ça, c'est "zéro subtil" :
Le point B" est-ce qu'on l'a pris au "pif" sur le dessin ?
Ben non, il est sur AA" (=> on écrit )
et aussi sur CC' (=> on écrit )
bien sûr, pour pouvoir "mélanger" les deux égalités, on écrit ou n'importe quoi du même genre

[benekire2]

Bé vu sous cet angle j'avoue que c'est logique .. :cry: Mais la démo n'en reste pas moins magnifique :lol3: