Un problème ouvert

[benekire2]

ta méthode commence de manière excellente, mais considérer que le triangle est rectangle... je suis pas sur... Enfin merci quand même :)

[Timothé Lefebvre]

Si justement, on peut le faire en examinant le produit scalaire des deux vecteurs qui est proche de 0, on assimile le triangle GHI à un triangle rectangle en G.

[Timothé Lefebvre]

J'ai une autre idée.

En considérant le produit vectoriel de et noté et en remarquant que et ne sont pas colinéaires,

on a où .

J'ai donc, d'après les formules du sinus

que je peux aussi écrire

, j'en déduis que

et là j'ai même plus besoin de conjecturer le fait que le triangle GHI soit rectangle, je peux directement tomber sur le résultat.

[benekire2]

Ce n'est pas très mathématique ton prod scalaire que t'arrondi ...

Edit : Je confirme !!

[Timothé Lefebvre]

C'est du produit vectoriel ...
D'ailleurs ce n'est même pas au programme du lycée en France.

[Nightmare]

Timothé > Le produit vectoriel n'a pas de sens dans le plan donc ta solution n'est pas bonne.

[Timothé Lefebvre]

Pourquoi ?

La formule que je trouve est tout à fait bonne et valable dans le plan non ?

On a où , ce qu'on peut dire puisque et ne sont pas colinéaires.

En quoi est-ce faux ?

[Nightmare]

Connais-tu au moins la définition du produit vectoriel avant de l'utiliser?

[Timothé Lefebvre]

Je m'explique.
Je veux calculer l'aire du triangle en connaissant les coordonnées de ses sommets dans le repère orthonormal que j'ai (grâce au fait que ABC rectangle en A).

Pour ça je vais imaginer le parallélograme GIHJ tel que .
Or, je sais que l'aire de ce parallélograme, définit par les vecteurs et , est la norme de leur produit vectoriel, tel que .

J'en déduis donc que l'aire de mon triangle est égale à la moitié de , soit . Je peux ensuite, en utilisant les coordonnées des points trouver mon résultat.

Mon raisonnement te parait-il bon ?

[Nightmare]

Encore une fois, ce n'est pas ton raisonnement en soi qui n'est pas bon mais juste le fait que tu utilises un produit vectoriel là où il ne peut exister !

Comment définis-tu ou même calcules-tu ?

Le produit vectoriel ne se définit pas dans R^2, la seule chose que tu peux faire c'est plonger le plan dans l'espace en fixant qu'un point (a,b) du plan est un point (a,b,0) dans l'espace.

[Timothé Lefebvre]

Comment définis-tu ou même calcules-tu ?

En fait j'utilise une relation qui me permet justement de ne pas travailler avec cette expression.
Je définis avec , c'est à dire en revenant sur quelque chose que je connais.

Le produit vectoriel ne se définit pas dans R^2, la seule chose que tu peux faire c'est plonger le plan dans l'espace en fixant qu'un point (a,b) du plan est un point (a,b,0) dans l'espace.

J'entends bien oui, mais justement, quand je parle de produit vectoriel dans ce cas-là ce n'est pas en sous-entendant que je le fais dans un espace de dimension 2 (je ne peux pas le faire) mais en ne disant rien. Je pense que tu veux me dire qu'il faut plutôt que je précise qu'on est en dimension 3 et rajouter une cote nulle ? Ok, je comprends bien.

[Nightmare]

Le produit vectoriel ne vaut pas ce que tu as écrit.

Je pense qu'il vaut mieux que tu oublies cet outil pour le moment.

Le produit vectoriel, contrairement au produit scalaire est un vecteur (il est à valeur vectorielle) alors que le produit scalaire est un nombre (un scalaire).

Ce que tu as écrit (en remplaçant cos par sin et en mettant des valeurs absolues) n'est pas le produit vectoriel de GI et GH mais sa norme !

[Timothé Lefebvre]

Ben euh oui, c'est bien sa norme qui m'intéresse au final, non ? Je me suis sans doute mal exprimé.

[busard_des_roseaux]

bonsoir,

avec les coordonnées barycentriques de I,H,G
on obtient par le théorème de Thalès les coordonnées suivantes



Ces coordonnées sont les mesures de longueurs des hauteurs
de triangles dont il est intéressant de calculer les aires.

Les calculs d'aire avec la formule Base x Hauteur/2 donnent
les aires en proportion de l'aire

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde,

pour ceux que ça intéresse (on ne sait jamais :id:) voici une correction détaillée (qui n'est pas de moi).
On prendra comme référence le schéma suivant.

[url="http://img79.imageshack.us/i/p0610091644.jpg/"][/url]


On notera A(GHI) l'aire du triangle GHI.
Q est le barycentre de (B,2)(C,1) et A, G, D sont alignés donc G est barycentre de (A,a)(D,3), par associativité G est barycentre de (B,2)(A,a)(C,1) avec a réel.

De même, E est barycentre de (A,1)(C,2) et E, I, B sont alignés donc G est barycentre de (B,b)(A,1)(C,2) avec b réel. On a donc G barycentre de (B,b)(A,1)(C,2) et de (B,4)(A,2a)(C,2).

Par identification, b=4 et a=1/2 donc G est barycentre de (B,4)(A,1)(C,2).
De même, on trouve I barycentre de (B,1)(A,2)(C,4) et H barycentre de (B,2)(A,4)(C,1).

Le milieu de [AG] est barycentre de (A,7)(G,7) soir de (A,7)(B,4)(A,1)(C,2) et (en regroupant et en simplifiant par 2) de (B,2)(A,4)(C,1). Par unicité du barycentre, c'est donc H.
De même, G est le milieu de [BE] et I milieu de [HC].

(GH) est médiane du triangle HBI donc A(BHG)=A(GHI), et (BH) est médiane du triangle GBA donc A(GHB)=A(BHA).
On a donc A(GBA)=2A(GHI).

De même A(BCE)=2A(GHI) et A(AHC)=2A(GHI).
On obtient A(ABC)=(2+2+2+1)A(GHI)=7A(GHI).

Soit 7A(GHI) et A(GHI)=150m²

[Zweig]

Plus généralement, soit ABC un triangle (quelconque) et des points situés respectivement sur , et tels que



Alors on montre le rapport suivant :



[CENTER][/CENTER]

[busard_des_roseaux]

bonsoir,

moi aussi , je me suis fendu d'un énoncé du même style (pro domo)

Par identification, b=4 et a=1/2 donc G est barycentre de (B,4)(A,1)(C,2).

Tim,
est ce que tu identifes modulo un facteur multiplicatif ? (ça fait une inconnue de plus). Personnellement, je travaille avec une somme de poids égale à 1
comment dit-on ? coordonnées homogènes normalisées ?

ce qui fait que deux coeff du style a+d=1 avec
se répartissent par associativité sur B(b) et C(c) en

Zweig,
pour obtenir la proportionnalité des aires,passes-tu par des pieds de perpendiculaires et doit distinguer le cas où le triangle ABC a un angle obtu ?

[Zweig]

J'utilise le théorème de Menelaüs et les nombres complexes sans besoin d'opérer des disjonctions de cas.

[busard_des_roseaux]

merçi beaucoup.

[Timothé Lefebvre]

Ca a été donné à une OIM ça ?
Je ne savais pas :) Aurais-tu le sujet si c'est le cas ?