Un problème ouvert

[Timothé Lefebvre]

Bonjour tout le monde

Voici un petit problème géométrique assez sympa que j'ai découvert hier.
Je vous donne ma figure, désolé pour la qualité, c'est mon brouillon ... (échelle : 1cm = 10 m)

[url="http://img79.imageshack.us/i/p0610091644.jpg/"][/url]

Soit le triangle ABC rectangle en A.
Le point D est placé aux deux tiers de [BC], le point E coupe [AC] aux deux tiers, F coupe [BA] aux deux tiers.
H est le point d'intersection de (AD) et (FC), G est le point d'intersection de (BE) et (DA) et I est le point d'intersection de (BE) et (FC).
La longueur AC mesure 60 mètres, la longueur AB en mesure 35.

La question est de déterminer l'aire (arrondie au mètre) du triangle GHI.

Voilà tout, amusez-vous bien

Bonne fin de journée,

Tim.

[benekire2]

C'est pas très compliqué, dans le bouquin de 1S Exprime les trois points comme barycentre de ABC, trouve leurs coordonnées dans le repère orthonormal, puis tu calcul les longeurs de tes cotés puis tu utilise la formule de héron qui te donne l'aire d'un triangle avec seulement les cotés.....
ou tu passes par les équations de droites, très simple aussi, voila je détaille pas ( flemme)

[Timothé Lefebvre]

Salut :)

Hum ... J'ai fait plus simple pour ma part. J'ai bien sûr utilisé les barycentres, mais pas besoin de Héron ni des équations de droites :)

[benekire2]

comment as-tu fait?

[Timothé Lefebvre]

Je te détaillerai ma correction complète, mais pas tout de suite ! Il faut chercher un peu ;)

Exprime D, E et F en barycentres des sommets du "grand" triangle. Ensuite, exprime les sommets du "petit" triangle en barycentres de deux ou trois points ...

Je te laisse continuer (tu es en 1S et en ce moment sur le chapitre des barycentres ? C'est un bon entraînement ;))

[benekire2]

Je te détaillerai ma correction complète, mais pas tout de suite ! Il faut chercher un peu

Exprime D, E et F en barycentres des sommets du "grand" triangle. Ensuite, exprime les sommets du "petit" triangle en barycentres de deux ou trois points ...

Je te laisse continuer (tu es en 1S et en ce moment sur le chapitre des barycentres ? C'est un bon entraînement )

effectivement en 1S ,
je l'ai résolu avec les homothéties aussi, une méthode mettant le produit scalaire en jeu, mais aucune simple :triste:

[Timothé Lefebvre]

Toute méthode peut se révéler intéressante, mais au final seule celle qui demande le moins d'outils mathématiques et est la mieux rédigée est la meilleure (comme toujours !).

[Lostounet]

Bonjour tout le monde

Voici un petit problème géométrique assez sympa que j'ai découvert hier.
Je vous donne ma figure, désolé pour la qualité, c'est mon brouillon ... (échelle : 1cm = 10 m)

Soit le triangle ABC rectangle en A.
Le point D est placé aux deux tiers de [BC], le point E coupe [AC] aux deux tiers, F coupe [BA] aux deux tiers.
H est le point d'intersection de (AD) et (FC), G est le point d'intersection de (BE) et (DA) et I est le point d'intersection de (BE) et (FC).
La longueur AC mesure 60 mètres, la longueur AB en mesure 35.

La question est de déterminer l'aire (arrondie au mètre) du triangle GHI.

Voilà tout, amusez-vous bien

Bonne fin de journée,

Tim.

Ben moi j'ai pas les théorèmes de 1ere, mais j'ai quand même Pythagore (je ne m'en est pas servi), et les carreaux, donc on fait avec ce qu'on a!

Calculons l'aire du triangle ABC:

A = (B * H) / 2 = 35 * 60 / 2 = 1050 m²


Soustrayons de cette Aire l'aire des triangles:


PS: Soit le point Z en dessous du point B (deux carreaux en bas du B)
1) BEC, L'aire de BEC = B * h / 2 = 20 * 35 / 2 = 350 m²

2) AIE, L'aire de AIE = 100 m²

3) FAI, L'aire de FAI = 150 m²

4) DZB, L'aire de DZB = 75 m²

5) DAZ, L'aire de DAZ 250 m²

Conclusion:

1050 - 100 - 150 - 75 - 250
= 950 - 150 - 75 - 250
= 800 - 75 - 250
= 800 - 300 - 25
= 500 - 25
= 475 m²
L'aire de GHI est presque égal à 475 m².

NOTE: Certaines ont été enlevées plusieurs fois, lol, donc le résultat obtenu est plus petit que la normale, je pense

[benekire2]

sauf que la dedans tu soustrait des aires deux fois au lieu d'une

[Timothé Lefebvre]

Euh ... Eh bien en fait je crainds que se fier à mon schéma pour calculer ne soit pas une bonne idée ^^ Non pas que mon schéma soit faux (je l'ai bien fait à l'échelle) mais ta conclusion est assez éloignée de la vérité ... Même de beaucoup ! Je n'ai pas regardé précisément mais ce n'est pas bon.

Remarque que l'une de mes premières idées était aussi de procéder, comme tu l'as fait, par différence d'aires. J'avais aussi songé à Al Kashi, mais sans résultat.

EDIT :

NOTE: Certaines ont été enlevées plusieurs fois, lol, donc le résultat obtenu est plus petit que la normale, je pense

Non, il est même beaucoup trop grand !

[Lostounet]

Euh ... Eh bien en fait je crainds que se fier à mon schéma pour calculer ne soit pas une bonne idée ^^ Non pas que mon schéma soit faux (je l'ai bien fait à l'échelle) mais ta conclusion est assez éloignée de la vérité ... Même de beaucoup ! Je n'ai pas regardé précisément mais ce n'est pas bon.

Remarque que l'une de mes premières idées était aussi de procéder, comme tu l'as fait, par différence d'aires. J'avais aussi songé à Al Kashi, mais sans résultat.

Mdr, mais moi j'ai rien appris en math xD, je peux faire qu'avec ton schéma !
Mais bien sûr! Al Kashii!! (Kézako?)
Vi je sais que j'ai enlevé les mêmes parties plusieurs fois.. mais au moins, on a maintenant une valeur très mal approchée par défaut.. On peut pas tout avoir dans la vie :bad:


P.S: Sans compter les fautes de calcul..

[Timothé Lefebvre]

Je te laisse essayer de revoir ton estimation alors :P
Je dois y aller, je re vers 7h ;)

A toute :)

[Lostounet]

Je te laisse essayer de revoir ton estimation alors
Je dois y aller, je re vers 7h

A toute

Je verrais! Je ne promets rien :S! :marteau:
Beaucoup trop grand? Y'a donc qqch dans le calcul.. un fois "10" en plus je dirais.. :triste:

[benekire2]

c'est une aproximation par exès en fait, le résultat est 1/7 de l'aire totale normalement

[Timothé Lefebvre]

c'est une aproximation par exès en fait, le résultat est 1/7 de l'aire totale normalement

Non, non ...

EDIT : On peut dire que si, mais pas vraiment. Tu as sans doute raisonné par différence d'aire ? Si oui je ne pense pas que ce soit le plus précis ici. Enfin, chaque méthode vaut son pesant d'or !

[Timothé Lefebvre]

Yop,

je donnerai vraisemblablement ma solution demain, quand ma prof m'aura rendu ma feuille ^^

Des idées à part ça ?

[benekire2]

Yop,

je donnerai vraisemblablement ma solution demain, quand ma prof m'aura rendu ma feuille ^^

Des idées à part ça ?

Tu es en quelle classe ?

Je confirme que l'aire vaut bien 1/7, de l'aire totale...

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,

Vous avez probablement deux méthodes différentes. Il reste pas moins vrai que la surface du triangle interne vaut 1/7 de la surface totale du triangle rectangle!

[benekire2]

Non, non ...

EDIT : On peut dire que si, mais pas vraiment. Tu as sans doute raisonné par différence d'aire ? Si oui je ne pense pas que ce soit le plus précis ici. Enfin, chaque méthode vaut son pesant d'or !

non, j'ai raisonné avec héron comme je t'avais dit... on peut même raisonner avec les triangles semblables aussi... mais ca devient compliqué

[Timothé Lefebvre]

Avec Héron, pas mal.

J'ai conjecturé H en tant que barycentre de (A,4) (D,3) puis l'est démontré en posant un point H' tel que H'=bar{(A,4)(C,1)(B,2)} puis j'ai utilisé le théorème du barycentre partiel en posant F=bar{(A,4)(B,2) d'où H'=bar{(C,1)(F,6)}. Après quelques lignes de littérature je trouve H et H' confondus, d'où H=bar{(A,4)(D,3)}.

S'en suivent selon le même principe les expressions de G et I en tant que barycentres de A, B et C.

Je considère ensuite le repère orthonormal (A;AC,AB) et calcule les coordonnées de tous les points.

Je calcule les coordonnées des vecteurs GH et GI, je calcule leur produit scalaire et trouve environ 3,06. Or, je sais que avec (GI,GH)=theta d'où environ 300.
Le rapport de 1% m'indique alors que cos(theta) est très proche de 0 ce qui implique que theta est très proche de 90°.

On peut donc considèrer que (GI) _|_ (GH) ce qui me permet d'appliquer Pythagore (après avoir calculé les normes de vecteurs) et de trouver une aire à environ 150m².

Il était possible de faire plein d'autres trucs : Al Kashi par exemple. On pouvait aussi faire une autre démarche beaucoup plus courte. On prouvait que I=mil[HC],
H=mil[HA] et G=mil[BI] puis en considérant la propriété des médianes sur l'aire des triangles séparés on tombait sur un rapport d'aire de 1/7. On pouvait aussi résoudre ceci par différence d'aires ...

Bref, beaucoup de solutions pour un seul problème.