Problème ouvert Dérivé

[Mathis48]

Bonjour, je suis en première S et je dois résoudre un problème donné en DM.
On considère un cercle de diamètre AB tel que AB=8 cm
M est un point quelconque sur le segment AB. On pose x=AM
On a construit de part et d'autre de AB des demi cercles de diamètres AM et MB.
Déterminer x pour que l'aire coloriée soit minimale.

Je sais qu'il s'agit d'un problème lié aux dérivées. Mais je ne sais pas par où commencer.
Merci d'avance a ceux qui prendront le temps de répondre.

[Ben314]

Salut,
C'est combien (en fonction de x évidement) le diamètre du cercle de diamètre [AM] ? son rayon ? sa surface ?
C'est combien le diamètre du cercle de diamètre [MB] ? son rayon ? sa surface ?
C'est combien la somme des deux surfaces ?
Vu l'énoncé, le réel x il est compris entre combien et combien ? (peut-être à faire en premier...)
On fait comment pour trouver le minimum d'une fonction x->f(x) pour x dans un intervalle donné ?

[Mathis48]

Salut,
C'est combien (en fonction de x évidement) le diamètre du cercle de diamètre [AM] ? son rayon ? sa surface ?
C'est combien le diamètre du cercle de diamètre [MB] ? son rayon ? sa surface ?
C'est combien la somme des deux surfaces ?
Vu l'énoncé, le réel x il est compris entre combien et combien ? (peut-être à faire en premier...)
On fait comment pour trouver le minimum d'une fonction x->f(x) pour x dans un intervalle donné ?

Le diamètre du cercle de diamètre AM est x, son rayon est x/2, sa surface est (pi x r²)/2 puisque c'est un demi cercle, donc pi x x/2²
La somme de deux surfaces c'est pi x r².
AM=x, donc AB=8-x.. x serait compris entre 7 et 0..?
On fait un tableau, avec sa dérivé, donc tableau de signe puis de variation ?

[zygomatique]

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-641230.html

[Ben314]

Le diamètre du cercle de diamètre AM est x, son rayon est x/2, sa surface est (pi x r²)/2 puisque c'est un demi cercle, donc pi x x/2² <= Oui (j'avais pas fait gaffe que c'était des demi cercle qu'on construisait)
La somme de deux surfaces c'est pi x r². <= ben... non : je vois franchement pas pourquoi le 2em demi-cercle aurait la même surface que le premier. Il a quoi comme diamètre ?
AM=x, donc AB=8-x.. x serait compris entre 7 et 0..? <= Pourquoi 7 ? Rappel : x est un réel, pas forcément un nombre entier;
par contre, le fait que BM=8-x (c'est vrai) te donne la réponse à "c'est quoi le diamètre de du 2em demi cercle" et t'as plus qu'à répondre à "c'est quoi son rayon" et "c'est quoi sa surface"...
On fait un tableau, avec sa dérivé, donc tableau de signe puis de variation ? <= Oui (une fois qu'on a la bonne fonction pour la surface)...

P.S. utilise plutôt . pour les produit vu qu'avec x comme variable et x comme signe de multiplication, c'est pas terrible

[Mathis48]

P.S. utilise plutôt . pour les produit vu qu'avec x comme variable et x comme signe de multiplication, c'est pas terrible

Oui effectivement on se mélange.
Le deuxième cercle a une surface de pi. (8-x)²/2
Et pour la surface totale il faudrait ajouter pi.x²/2 + pi.(8-x)²/2 ?
Donc cela serait entre 0 et 8 ?

[Ben314]

"presque".
en fait c'était déjà en parti faux pour le premier demi cercle :
Le premier demi cercle a pour diamètre donc pour rayon donc pour surface
Le deuxième demi cercle a pour diamètre donc pour rayon donc pour surface
Après, la surface totale, c'est (évidement) la somme des deux surface que tu trouve et c'est elle que tu doit minimiser pour x dans l'intervalle [0,8] en faisant (ou pas...) un tableau de variations.

[Mathis48]

"presque".
en fait c'était déjà en parti faux pour le premier demi cercle :
Le premier demi cercle a pour diamètre donc pour rayon donc pour surface
Le deuxième demi cercle a pour diamètre donc pour rayon donc pour surface
Après, la surface totale, c'est (évidement) la somme des deux surface que tu trouve et c'est elle que tu doit minimiser pour x dans l'intervalle [0,8] en faisant (ou pas...) un tableau de variations.

La surface du demi cercle AM est (1/2)pi.(x/2)² = pix²/8 ?
Celle du demi cercle MB pi(8-x)²/8 ?

[maiabout]

Excusez moi j'ai le même problème mais du coup pour l'aire minimale j'ai trouvée x=4 donc je l'ai trouvée en faisant alpha mais combien trouvez vous pour le Bêta ?

[aviateur]

Bon, Vu la symétrie par rapport au centre (milieu de [AB]); c'est clair que l'expression de l'aire sera un polynôme de degré 2 par rapport à x. Toujours, vu la symétrie les extrémums ne peuvent être atteint qu'en A (x=0) ou B=(x=8) ou en O (x=4). Mais en A et B c'est clair que l'aire est maximale. donc le minimum est en x=4.
Pas vraiment besoin de faire des calculs.