Probleme optimisation (1 ere S) [Réglé]

[elyk]

Bonjour,

Excusez moi m'ai j'ai du mal a résoudre ce problème d'optimisation pour une classe de 1ere S SI . Je ne comprend pas très bien ce chapitre pouvez vous m'aider s'il vous plait :

Le plan est muni d'un repère orthonormal ( o, i ,j ) ( en vecteur) . Soit A le point de coordonées carthésienne (0;1). Déterminer les points de la parabole d'équation y=x² les plus proches de A .


Voila j'ai du mal a résoudre ce probleme ce serait sympathique de pouvoir m'aider

Merci d'avance

Amicalement
Elyk

[johnjohnjohn]

Bonjour,

Excusez moi m'ai j'ai du mal a résoudre ce problème d'optimisation pour une classe de 1ere S SI . Je ne comprend pas très bien ce chapitre pouvez vous m'aider s'il vous plait :

Le plan est muni d'un repère orthonormal ( o, i ,j ) ( en vecteur) . Soit A le point de coordonées carthésienne (0;1). Déterminer les points de la parabole d'équation y=x² les plus proches de A .


Voila j'ai du mal a résoudre ce probleme ce serait sympathique de pouvoir m'aider

Merci d'avance

Amicalement
Elyk

Faut d'abord déterminer la distance de A à ces points.

Pour tout point M(x,y), distance de M à A = norme du vecteur AM

exprime cette distance en fonction des coordonnées de A et M. Après il faut que tu exploites une autre information de l'exercice, en effet M est un point de la parabole ....

[elyk]

Je ne comprend pas bien

M(x,y)
A(0,1)

Vecteur AM = (( xm-xa) ; (ym-ya)) = (x-0);(y-1) la on a les coordonnées du vecteur AM

Si on veut faire la distance ca serai racine carré ((x-0)² + (y-1)²)
On pourrai développer ce qui donnerai racine carré de : ((x²)+(y²-2y+1))


Mais je ne vois pas en quoi cela peut nous aider si tu pourrai préciser ton raisonnement et me lance au début au moins ca serai bien. Merci

Amicalement

[elyk]

Devrai je utiliser une systeme pour résoudre cette sorte d'équation est arriver a la solution ?

Ou je fais fausse route ?

Amicalement

[johnjohnjohn]

Devrai je utiliser une systeme pour résoudre cette sorte d'équation est arriver a la solution ?

Ou je fais fausse route ?

Amicalement

Non tu ne fais pas fausse route

reprenons, ton calcul

AM²=x²+(y-1)²

Tu recherches les points M tels que AM soit minimale ( les points les plus proches de A ). Comme AM est une valeur positive, tu peux aussi étudier le minimum de AM².

Maintenant n'oublie pas que M est un point de la parabole. y=x². Dès lors AM est une fonction de x. Tu vas en étudier les variations ...

AM²=f(x)= .....

[elyk]

Je ne comprend pas bien ton raisonnement.

Ok on a AM² ou AM peu importe. Mais je ne comprend pas comment arriver ensuite a trouver les points les plus proche de A de la parabolle y=x².

Le minimum de AM² est je pense 1

car 0²+(0-1)² = 1 mais je ne comprend plus la suite

Pourrai tu m'avancer dans ton raisonnement ?

Amicalement

[liban59]

oé pose M(x;x²)

[chan79]

salut
A(0;1)
M(x;x²) point de la parabole
AM = racine(x²+((x²-1)²) étudie cette fonction

[liban59]

alors on a AM=x²-x+1 ensuite on dérive é on aura le minimum

[elyk]

Ok alors ca donnerais :

AM = racine(x²+((x²-1)²)
=racine (x²+x^4-2x²+1)
= racine(x^4+3x²+1)
= x²+3x+1

Ok et je fais quoi avec ca ?

je la dérive ?

ca donnerais 2x+3 si je pose 2x+3=0 j'obtiens x= -3/2

Maintenant je ne sais pas en quoi cela m'avance cela voudrai t'il dire que il y a un point d'absice -3/2 qui se trouve sur la parabolle ? et qui es le plus près de A ?

Le 2eme point serai le point d'absice 3/2 ?

amicalement

[chan79]

Ok alors ca donnerais :

AM = racine(x²+((x²-1)²)
=racine (x²+x^4-2x²+1)
= racine(x^4+3x²+1)

revois le calcul

[elyk]

AM = racine(x²+((x²-1)²)
=racine (x²+x^4-2x²+1)
=racine ( x^4-x²+1)
= x²-x+1

Je dérive ce qui donne 2x-1

je pose 2x-1=0 ce qui donne x= 1/2

Donc les points les plus proche sont les point d'équation y=x² avec pour absice 1/2 et -1/2 ?

y=x²
y=(1/2)² = 1/4 donc le premier point serai P1(1/2; 1/4)
et le 2eme ( -(1/2) ; 1/4))

Aie je raison ?

[liban59]

oui je pense ke c sa car tu peu le voir graphiquement.

[chan79]

AM = racine(x²+((x²-1)²)
=racine (x²+x^4-2x²+1)
=racine ( x^4-x²+1)
= x²-x+1

NON
il n'y a pas de formule du genre racine(a+b)=...
tu as f(x)=racine ( x^4-x²+1) de la forme racine(u)
il faut étudier cette fonction
dérivée de racine(u): u'/(2racine(u))

[elyk]

Erf oui c'est vrai alors ca donne :

f(x)=racine ( x^4-x²+1)

dérivée de racine(u): u'/(2racine(u))

U = (x^4-x²+1)
U'= 4x-2x = 2x

dériver de Racine(u) = u'/(2racine(u)) : 2x/ (2Racine de (x^4-x²+1))
= 2x/ 2(x²-x+1) = 2x/ 2x²-2x+2

ce qui donne : x/x²-x+1 ??

Après je ne vois plus ce qu'il faut faire alors

[chan79]

sans vouloir te commander, il faudrait que tu révises le cours ... :we:
la dérivée de x^4 est 4x³

[elyk]

f(x)=racine ( x^4-x²+1)

dérivée de racine(u): u'/(2racine(u))

U = (x^4-x²+1)
U'= 4x^3-2x

dériver de Racine(u) = u'/(2racine(u)) : 4x^3-2x/ (2Racine de (x^4-x²+1))
= 4x^3-2x/ 2(x²-x+1) = 4x^3-2x/ 2x²-2x+2

ce qui donne : 2x^3-x/x²-x+1 ??

je sais ce chapitre je ne l'aime pas et j'ai du mal alors si tu pouvais encore me guider ce serai bien

[chan79]

f(x)=racine ( x^4-x²+1)

dérivée de racine(u): u'/(2racine(u))

U = (x^4-x²+1)
U'= 4x^3-2x

dériver de Racine(u) = u'/(2racine(u)) : (4x^3-2x)/ (2Racine de (x^4-x²+1))
= 4x^3-2x/ 2(x²-x+1) = 4x^3-2x/ 2x²-2x+2
NON
ce qui donne : 2x^3-x/x²-x+1 ??

la dérivée s'annulle si 4x³-2x=0
Etudie à fond la fonction
tu trouveras ((racine(2))/2:1/2) et ((-racine(2))/2:1/2)

[elyk]

Tu es sur de ta réponse car je trouve :

((racine(2))/2:3/4) et ((-racine(2))/2:3/4)


?

[elyk]

Merci beaucoup j'ai compris mes erreurs et réussi a fini mon exercice

Amicalement