Problème d'optimisation d'aire

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 11:54

Bonjour à tous,
Comme vous le savez vacances = DM, ici j'ai le dernier exercice qui me bloque et j'aimerai avoir votre aide. Merci d'avance :)

A et B sont deux points de plan tel que AB=8. C est le cercle de centre O et de diamètre [AB]. M est un point quelconque de C et H son projeté orthogonal sur [AB] (c'est à dire le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par M).
On pose : AH = x
Le but est de déterminer la position du point M pour que l'aire de triangle AMH soit maximale.

1)A quel intervalle I appartient nécessairement le réel x ? (J'ai mis ]0;8[)

2)a)En évaluant de deux façons différentes le cosinus de l'angle MAB (avec un "chapeau" au dessus), démontrer que AM²=8x
Ici j'ai essayé avec Pythagore mais il me faut la longueur MH et je ne sais pas comment la trouver
Et la deuxième façon je ne vois pas ce que c'est...
b)Exprimer alors l'aire S(x) du triangle AMH en fonction de x
Il me manque toujours MH

3)On décide d'étudier la fonction f définie sur I par : f(x)=S²(x)
a)Montrer que f(x)=1/4 (8x^3-x^4) pour tout réel x de I
b) Déterminer le maximum de f sur I.
c) En déduire la valeur maximale de l'aire du triangle AMH ainsi que la position du point M correspondante.

La troisième partie je ne peux pas la faire car il me manque la deuxième partie à faire...

Voilà, merci d'avance.

par **Jota Be** » 16 Fév 2012, 12:06

PetitLu a écrit:Bonjour à tous,
Comme vous le savez vacances = DM, ici j'ai le dernier exercice qui me bloque et j'aimerai avoir votre aide. Merci d'avance

A et B sont deux points de plan tel que AB=8. C est le cercle de centre O et de diamètre [AB]. M est un point quelconque de C et H son projeté orthogonal sur [AB] (c'est à dire le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par M).
On pose : AH = x
Le but est de déterminer la position du point M pour que l'aire de triangle AMH soit maximale.

1)A quel intervalle I appartient nécessairement le réel x ? (J'ai mis ]0;8[)

2)a)En évaluant de deux façons différentes le cosinus de l'angle MAB (avec un "chapeau" au dessus), démontrer que AM²=8x
Ici j'ai essayé avec Pythagore mais il me faut la longueur MH et je ne sais pas comment la trouver
Et la deuxième façon je ne vois pas ce que c'est...
b)Exprimer alors l'aire S(x) du triangle AMH en fonction de x
Il me manque toujours MH

3)On décide d'étudier la fonction f définie sur I par : f(x)=S²(x)
a)Montrer que f(x)=1/4 (8x^3-x^4) pour tout réel x de I
b) Déterminer le maximum de f sur I.
c) En déduire la valeur maximale de l'aire du triangle AMH ainsi que la position du point M correspondante.

La troisième partie je ne peux pas la faire car il me manque la deuxième partie à faire...

Voilà, merci d'avance.

Bonjour,
Pour la 2)a), commence par faire un dessin. cos MÂB peut s'écrire de deux façons par l'égalité trigo de base : cos(x)=adj/hyp.
Il faut juste trouver deux triangles différents.

par **chan79** » 16 Fév 2012, 12:07

PetitLu a écrit:Bonjour à tous,
Comme vous le savez vacances = DM, ici j'ai le dernier exercice qui me bloque et j'aimerai avoir votre aide. Merci d'avance

A et B sont deux points de plan tel que AB=8. C est le cercle de centre O et de diamètre [AB]. M est un point quelconque de C et H son projeté orthogonal sur [AB] (c'est à dire le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par M).
On pose : AH = x
Le but est de déterminer la position du point M pour que l'aire de triangle AMH soit maximale.

1)A quel intervalle I appartient nécessairement le réel x ? (J'ai mis ]0;8[)

2)a)En évaluant de deux façons différentes le cosinus de l'angle MAB (avec un "chapeau" au dessus), démontrer que AM²=8x
Ici j'ai essayé avec Pythagore mais il me faut la longueur MH et je ne sais pas comment la trouver
Et la deuxième façon je ne vois pas ce que c'est...
b)Exprimer alors l'aire S(x) du triangle AMH en fonction de x
Il me manque toujours MH

3)On décide d'étudier la fonction f définie sur I par : f(x)=S²(x)
a)Montrer que f(x)=1/4 (8x^3-x^4) pour tout réel x de I
b) Déterminer le maximum de f sur I.
c) En déduire la valeur maximale de l'aire du triangle AMH ainsi que la position du point M correspondante.

La troisième partie je ne peux pas la faire car il me manque la deuxième partie à faire...

Voilà, merci d'avance.

Salut
Exprime le cosinus de MAB dans les triangles AHM et AMB et le résultat est immédiat

par **Jota Be** » 16 Fév 2012, 12:08

chan79 a écrit:Salut
Exprime le cosinus de MAB dans les triangles AHM et AMB et le résultat est immédiat

C'est ça...

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 12:14

Jota Be a écrit:Bonjour,
Pour la 2)a), commence par faire un dessin. cos MÂB peut s'écrire de deux façons par l'égalité trigo de base : cos(x)=adj/hyp.
Il faut juste trouver deux triangles différents.

En faite j'avais commencé par dire que cos MÂB = AH/AM= x/AM
Donc par Pythagore j'ai cherché à calculer AM, sauf que comme je l'ai dis précédemment il me manque MH alors je me retrouve avec l'égalité : AM²=MH²+x²
Après chercher dans un deuxième triangle, je ne vois pas lequel, pourquoi pas MAB, non ?

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 12:15

chan79 a écrit:Salut
Exprime le cosinus de MAB dans les triangles AHM et AMB et le résultat est immédiat

Désole je viens de voir cette réponse, je vais essayer. Merci.

par **Jota Be** » 16 Fév 2012, 12:17

PetitLu a écrit:En faite j'avais commencé par dire que cos MÂB = AH/AM= x/AM
Donc par Pythagore j'ai cherché à calculer AM, sauf que comme je l'ai dis précédemment il me manque MH alors je me retrouve avec l'égalité : AM²=MH²+x²
Après chercher dans un deuxième triangle, je ne vois pas lequel, pourquoi pas MAB, non ?

Pourtant, Chan t'a bien indiqué les triangles sur lesquels il fallait se focaliser : AMB et AMH.
cos(MÂB)=AH/AM=...

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 12:36

Jota Be a écrit:C'est ça...

C'est bon j'ai réussi. Pour calculer S(x) je sais que l'expression c'est :
S(x)=(MH x HA)/2
Sauf que je reviens à mon problème (inutile à ce moment là je l'avoue) : je ne connais pas MH
Je pensais le trouver par Pythagore de nouveau mais je n'y arrive toujours pas...

par **chan79** » 16 Fév 2012, 12:37

PetitLu a écrit:Désole je viens de voir cette réponse, je vais essayer. Merci.

pour le 2a) attention à justifier que tu peux utiliser le cosinus (AMB est un triangle rectangle)

par **Jota Be** » 16 Fév 2012, 13:06

PetitLu a écrit:C'est bon j'ai réussi. Pour calculer S(x) je sais que l'expression c'est :
S(x)=(MH x HA)/2
Sauf que je reviens à mon problème (inutile à ce moment là je l'avoue) : je ne connais pas MH
Je pensais le trouver par Pythagore de nouveau mais je n'y arrive toujours pas...

Oui, tu peux le trouver par Pythagore, et il te suffit de le déduire de la question précédente en travaillant dans le triangle AMH : tu connais AM en fonction de x, AH vaut x, AMH est rectangle en H. Que vaut MH ?

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 14:22

Jota Be a écrit:Oui, tu peux le trouver par Pythagore, et il te suffit de le déduire de la question précédente en travaillant dans le triangle AMH : tu connais AM en fonction de x, AH vaut x, AMH est rectangle en H. Que vaut MH ?

MH vaut x racine de 8x

par **Jota Be** » 16 Fév 2012, 14:32

PetitLu a écrit:MH vaut x racine de 8x

Non. Dans le triangle rectangle AMH, AH²+MH²=AM²
Continue

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 14:39

Jota Be a écrit:Non. Dans le triangle rectangle AMH, AH²+MH²=AM²
Continue

MH = racine de 8x-x² alors ? J'avais voulu essayé de simplifier mon expression en enlevant la racine au x²

par **Jota Be** » 16 Fév 2012, 14:43

PetitLu a écrit:MH = racine de 8x-x² alors ? J'avais voulu essayé de simplifier mon expression en enlevant la racine au x²

Là c'est bon, mais si tu avais voulu simplifier, tu aurais alors du écrire

mais cela ne sert à rien... garde ton expression et ne la factorise pas

par **PetitLu** » 16 Fév 2012, 17:06

Jota Be a écrit:Là c'est bon, mais si tu avais voulu simplifier, tu aurais alors du écrire

mais cela ne sert à rien... garde ton expression et ne la factorise pas

Ah d'accord merci
Par contre je me demandais pour le maximum sur I du 3)b), j'ai dérivé l'expression.
Mais j'aimerai savoir comment je procède. Je sais que d'abord il faut que je sache quand est ce que f'(x)=0 (j'ai trouvé 6 et 0) et qu'il faut que je fasse les variations(d'ailleurs ici je n'y arrive pas). Comment je fais s'il vous plait ?

par **globule rouge** » 16 Fév 2012, 17:15

PetitLu a écrit:Ah d'accord merci
Par contre je me demandais pour le maximum sur I du 3)b), j'ai dérivé l'expression.
Mais j'aimerai savoir comment je procède. Je sais que d'abord il faut que je sache quand est ce que f'(x)=0 (j'ai trouvé 6 et 0) et qu'il faut que je fasse les variations(d'ailleurs ici je n'y arrive pas). Comment je fais s'il vous plait ?

Salut le p'tit Lu !

Est-ce que tu as réussi à faire les questions précédentes du 3 ?
Si oui, il faut dériver l'expression, comme tu l'as fait ! Sache juste que les variations d'une fonction sont définies par le signe de sa dérivée : si celle-ci est négative strictement sur un intervalle, la fonction associée y est elle-même décroissante strictement. Si la dérivée est nulle, on rencontre un extremum, et si elle est positive strictement, la "pente sera aussi positive" (autrement dit, la fonction est croissante strictement sur un tel intervalle ^^) ==> trop de "strictement" tuent le strictement ;P
N'hésite pas si tu as d'autres problèmes ! :langue2:

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