Problème de maths

[Dmat6789]

voici un petit problème pas facile à résoudre, si quelqu'un a une piste ou meme la solution mettez la en commentaire merci d'avance et bonnes vacances !

Pour le problème vous n'aurez besoin que de trois nombres : 1,0 et -1 Et de grilles !
Il faudra remplir les grilles avec ces nombres mais avec une condition supplémentaire : en faisant la somme des nombres placés dans chacune des lignes et dans chacune des colonnes, vous trouverez des résultats tous différents. On dira qu'une grille est gagnante si aucune des sommes des lignes et des colonnes ne sont égales.

Exemple
①① = 2
-①⓪ = -1
=０ =1 Grille gagnante

①-① = 0
-①⓪ =-1
=０ =1 Grille perdante

Quelles sont les grilles gagnantes de taille 2x2 ? De taille 3x3 ? de taille 4x4 ? ... de taille nxn ? Et plus généralement :

Quelles sont les grilles que vous pouvez remplir en respectant cette règle ?

[Benoist]

Salutations,

Tout d'abord, ça ressemble furieusement à une histoire de matrice tout ça j'ai l'impression. Bon je ne peut pas avancer dans une direction par contre; mais je suppose que ça doit se résoudre avec ça.
Je tiens à signaler que je manque certainement de rigueur et de pleins de choses , enfin j'essaye juste de réfléchir au truc et avancer...

En partant sur une "méthode" plus intuitive: premièrement Ce type de grille fait que l'on a 2n équations.
Pour l'exemple simple d'une 2x2:
a) comme au Sudoku - qui doit reposer sur ce principe ?! -il ne peut pas y avoir deux fois la même ligne et/ou colonne.
b) connaissant le nombre d'équations (2n donc) et le nombre de combinaisons possible au résultats différents avec ces 3 chiffres utilisés, je pense que l'on a le nombre de grille différentes possibles, pour la 2x2 c'est 5. Donc 4 équations et 5 "inconnues" nous permettrait 2 grilles si je ne dit pas de bêtise, bien qu'il y a certainement des histoire de symétrie par rotation, je serais d'avis de les "écarter" du chemin.

Parenthèse, ça me fait penser aussi au binaire et au code Gray (http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... deGray.htm) (pour les combinaisons), ce "code" permet en gros d'exprimer toute les combinaisons pour 2^n en ne passant systématiquement les combinaisons en ne changeant qu'un nombre sur la "ligne" donc ça rejoint notre histoire dans l'idée. Parenthèse fermée.

Ensuite en essayant avec une 3x3, il y a donc 6 équations et 7 inconnues [ -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3] et on devine que il s'ajoute à chaque fois 2 inconnues (à 4x4 on 2x4+1 = 9 inconnues) du fait de l'ajout d'un maximum de valeur n et de son opposé, -n.
D'où la suite supposées des inconnues: Un = 2n+2 avec u1 = 3.

En comparant 2n à 2n+2 on a une petite idée du bidule, à suivre.

[Dmat6789]

Bonsoir,
Merci pour votre réponse seulement je suis en troisième et malheureusement je ne comprend pas toutes vos explications...
Si vous avez quelques explications d'un niveau troisième je suis preneuse.
Merci encore et bonne soirée.

[pascal16]

ta première grille gagnante est :

si on écrit les les calculs :


pour une grille 2*2, il y a 4 calculs, donc 4 résultats qui doivent être différents.


La grille n'est constitué que des nombres -1, 0 et 1, donc la somme de deux d'entre eux vaut entre -2 et 2.
soit {-2;-1;0;1;2} comme résultats possibles
il n'y a que 6 résultats possibles et il t'en faut 4 différents
c'est alors plus facile à compter que de faire toutes les grilles.

Ceci te donne le nombre maximale de grille faisables, on ne sais pas si elles sont forcément faisables.

[Pseuda]

Bonjour,

En continuant le raisonnement de pascal16, il y a 5 résultats possibles pour la matrice 2x2 comme somme de lignes ou de colonnes, donc forcément 2 (ou -2).

Avec une ligne de somme 2 ( ou -2) , cela fait 1 et 1 (ou -1 et -1). L'autre ligne ne peut pas comporter de 1 (ou de -1), et comporte 2 éléments différents, soit forcément 0 et -1 (ou 0 et 1).

Ceci fait qu'il n'y a que 2 solutions pour la matrice 2x2 (à une rotation des lignes ou des colonnes près).

Avrc une matrice 3x3, avec le même raisonnement (il y a 7 résultats de sommes possibles pour 6 sommes différentes à caser) : il faut une ligne de somme 3 (ou -3), je trouve qu'il n'y a pas de solutions : on ne peut plus faire une colonne de somme -2 et une de -3 (ou 2 et 3).

Je te laisse continuer pour 4.

[Dmat6789]

Bonjour, merci pour toutes vos réponses
Je pense avoir compris...
Merci encore et bonne journée