Problème 2 inconues

[solnou]

BOnjour

Nous avons cet exercice a résoudre. Mais il nous semble qu'il nous manque une donnée
Quelqu'un pourrait nous aider? s'il vous plaît...

Ce problème existe avec des aides mais le notre s'arrête malheureusement sur une question ouverte...

Merci pour votre aide.


En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements:

L'hébergement A et l'hébergement B.

Une nuit en hébergement A coûte 24 € et une nuit en hébergement B coûte 45 €.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 €.
On souhaite retrouver les nombres x et y de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B.
Déterminer le nombre de nuitées passées dans chaque hébergement pendant la randonnée.

[lulu math discovering]

Est-ce que tu as vu les équations diophantiennes ?

[zygomatique]

salut

quelle équation peux-tu écrire ?

[micomathy]

Salut !

Dans ce cas-ci, tu n'as qu'une seule équation et pourtant deux inconnues, le nombre de nuit passé dans chaque établissement. Cependant, tu as une condition importante qui est que le nombre de nuit passé est un nombre naturel. En effet, tu ne peux pas passer une demi-nuit.

Dès lors, en sachant que 24*x + 45*y = 438 et que x et y sont entiers, tu peux résoudre ce problème à tâtons.

Une méthode pour ne pas essayer tous les nombres consiste à se rappeler de la table de 4 et de 5.
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... 5,10,15,20,25,...

Dans ton membre de droite, tu as 438. Or, la seule manière de former un 8 avec la table de 4 et de 5 est que le terme qui comporte x doit se finir par 8 ( 8 , 28 par ex.) et que le terme qui comporte y doit se finir par 0 (10, 20 par ex.).

Du coup, x peut prendre les valeurs 2, 7, 12, 17, ... et y peut prendre les valeurs 2, 4, 6, ...

En essayant la valeur x=2, on obtient un y non naturel, c'est donc à rejeter.
En essayant la valeur x=7, on obtient y=6, ce qui est compatible.
Si on essaye des valeurs plus grande de x, le y sera toujours à rejeter.

Le randonneur a donc passé 7 nuits dans l'établissement A et 6 nuits dans l'établissement B, donc un total de 13 nuits.

[WillyCagnes]

bjr,
je trouve 13 nuits dont
7 nuits à 24€
6 nuits à 45€

7x24 +6x45 =168+270=438

24x + 45y = 438
soit 8x +15y=146
voir ce lien
http://ressources.unisciel.fr/ramses/51 ... _5_19.html

[zygomatique]

on a donc 24x + 45y = 438 <=> 8x + 15y = 146

non seulement x et y sont positifs mais aussi x< 146/24 => x =< 18 et y < 146/15 => y =< 9 (*)

or 8x + 15y = 146 <=> 8(x + 2y) - y = 146

donc

x + 2y = 20
y = 14

convient

soit encore

x = -8
y = 14

donc les solutions sont

x = -8 + 15k
y = 14 - 8k

avec k entiers relatifs ...

la seule solution vérifiant (*) à lieu pour k = 1

....