Problème de géometrie

[darkboss]

voilà le graph
graph cliquer ici
je veut trouver les cordonné du point M en fonction de celles des points A B C
et des rayons r1 r2 r3
merci

[Quidam]

voilà le graph
graph cliquer ici
je veut trouver les cordonné du point M en fonction de celles des points A B C
et des rayons r1 r2 r3
merci

Comment est défini ton point M ? Comme appartenant aux trois cercles ? Ca ne suffit pas, j'ai commencé à compter mais j'ai arrêté : y en a au moins un bon milliard !

[darkboss]

le point M et situé au centre de la surface dèintersection des trois cercles

[Quidam]

le point M et situé au centre de la surface dèintersection des trois cercles

Le centre d'une surface définie par trois arcs de cercle ? Je vois pas ! Peut-être veux-tu dire que les distances du point à chacun des trois cercles sont égales !

[darkboss]

M est le centre de gravité du triangle définit par les trois point d'intersections
des trois cercles

[Quidam]

Ton problème n'est pas simple !

Pour trouver le centre de gravité du triangle dont tu parles, il faudrait d'abord trouver les deux points d'intersection de deux des cercles, ceci pour chacun des trois couples de cercles : (C1 et C2), (C2 et C3) et (C3 et C1), ce qui nous ferait 6 points. Puis par un moyen certainement malhabile il nous faudrait choisir parmi ces six points les trois qui nous intéressent, et enfin calculer la position du centre de gravité du triangle formé par les trois points choisis (ce dernier calcul est, lui, très simple).

L'autre définition du point que j'ai suggérée ne me conduit pas davantage à une solution simple. J'ai pensé en effet chercher le point qui serait à une même distance d des trois cercles, c'est-à-dire à une distance r1-d du centre C1, à une distance r2-d du centre C2 et à une distance r3-d du centre C3. Mais là non plus, ce n'est pas très simple.

Le difficulté que tu as eu à définir ce point (d'abord tu parles du point M sans autre précision, ensuite du centre de la surface d'intersection des trois cercles - définition extrêmement floue - enfin tu parles du centre de gravité du triangle défini par les trois point d'intersections des trois cercles) me conduit à penser que tu ne tiens pas absolument à cette dernière définition, et que tu te contenterais de n'importe quel point situé dans la surface commune aux trois disques. Dans ces conditions, si je ne me suis pas trompé sur ce point, j'ai alors une proposition simple à te faire. Si les cercles C1 et C2 se coupent en M3 et N3, les cercles C2 et C3 se coupent en M1 et N1 et les cercles C3 et C1 se coupent en M2 et N2, alors les droites M1N1, M2N2 et M3N3 sont concourantes : elles ont un point commun, et ce point se situe à l'intérieur de la surface commune aux trois disques. Ce n'est pas le centre de gravité du triangle défini par les trois point d'intersections des trois cercles (enfin, je pense), ce n'est pas non plus le point correspondant à ma première proposition (le point qui serait à une même distance d des trois cercles), mais ce point serait bien à l'intérieur de la surface commune aux trois disques. Il s'agit en fait du point qui a la même puissance par rapport aux trois cercles (connais-tu cette notion de puissance ? Elle a disparu depuis des lustres des programmes de lycée !). Le calcul des coordonnées de ce point par contre est simple ! Est-ce que cette solution te conviendrait ?

[darkboss]

je ne connais la notion de puissance.
mais cette solution me conviendrais bien.
s'il vous plait donnez moi la solution.
cordialement.

[Quidam]

je ne connais la notion de puissance.
mais cette solution me conviendrais bien.
s'il vous plait donnez moi la solution.
cordialement.

Soient de coordonnées , le centre du cercle de rayon , pour i=1 à 3.

L'équation du cercle est :

Pour i différent de j les cercles et se coupent en deux points et (avec k=6-i-j), c'est à dire que :
Le cercle et le cercle se coupent en et
Le cercle et le cercle se coupent en et
Le cercle et le cercle se coupent en et

Je suppose ici que les cercles se coupent effectivement ! S'il n'en était pas ainsi, il n'y aurait pas de zone commune aux trois cercles, et je suppose que tu n'envisages pas ce cas là ! Cependant, cette procédure donnera dans ce cas un point extérieur aux trois cercles et tu pourras t'en apercevoir en calculant par exemple la distance du point trouvé à l'un des centres et en comparant cette distance au rayon du cercle ayant ce point pour centre.

L'équation de la droite est alors :

Je développe et je réduis :



De même l'équation de la droite est :


[Dans le cas où les cercles ne se couperaient pas, certains point et peuvent ne pas exister, mais la droite dont je parle existe quand même !]

On a donc un système de deux équations du premier degré avec deux inconnues :




Soit :
ax+by=e
cx+dy=f

en posant :



Il n'y a plus qu'à résoudre le système. Ceci n'est possible que si les deux droites en question ne sont pas parallèles, c'est à dire si les trois centres ne sont pas alignés. Ce cas gênant peut être détecté par la nullité de (ad-bc). Il faudra donc tester cette quantité avant de poursuivre.



C'est tout !

Ca a l'air compliqué comme ça, mais la procédure est relativement courte :

1 :
Calculer :


2 :
Calculer (ad-bc) et vérifier que ce n'est pas 0 !
3 : Calculer

[darkboss]

je ne sait pas comment te remercier Quidam
en tout cas un trés grand merci

[Quidam]

je ne sait pas comment te remercier Quidam
en tout cas un trés grand merci

As-tu essayé ? Est-ce que ça marche bien ? Je suppose que c'est dans un programme sur ordinateur...

[darkboss]

oui ça a bien marché et c'est pour un programme c vrais.
un programme pour le calcul du balourd si tu en connait

[Quidam]

oui ça a bien marché et c'est pour un programme c vrais.
un programme pour le calcul du balourd si tu en connait

Non, je n'ai aucune idée à ce propos. Eh bien je suis ravi d'avoir pu t'aider !

[darkboss]

c'est en fait l'équilibrage de la vibration d'une turbine en mettant un contre poids.

[Quidam]

c'est en fait l'équilibrage de la vibration d'une turbine en mettant un contre poids.

Oui, j'avais compris ! Wikipédia m'a rafraîchi la mémoire ! Je voulais simplement dire que je n'avais pas d'idée sur le rapport entre le problème du balourd et ton problème géométrique de la détermination d'un point à partir de trois cercles...Mais cela n'a guère d'importance ! :zen: