Problème de géométrie pour architecte désespéré

[Leoncame]

Bonjour à tous.
Je suis architecte et en dessinant je me suis posé une question qui depuis m'obsède un peu^^.
Je choisis de le mettre dans le niveau "lycée" mais a vrai dire je ne sais pas du tout si cela est d'une simplicité enfantine ou beaucoup plus complexe.



J'ai formulé un peu à la barbare la question car cela fait longtemps que je n'ai pas fais de mathématiques.
La question est : Comment construire le triangle GEF ?
Avec une règle, un compas etc. J'ai dessiné le triangle pour qu'on comprenne mais celui-ci a été "calé" approximativement. Les dimensions sont les bonnes en revanche je pense donc qu'il est totalement possible qu'il existe.

J'espère que c'est assez compréhensible. N'hésitez pas à me poser des questions si cela est mal formulé.
Cordialement

[Ben314]

Salut,
Pour simplifier, posons a=AD=BC=EF et b=AB=DC=EG et cherchons BF=x.a (avec x entre 0 et 1) tel que ton truc marche.
1) BF²+BE²=EF² donc BE=racine(1-x²).a=y.a avec y=racine(1-x²).
2) De F à E, on fait x.a vers le haut et y.a vers la gauche donc en tournant de 90°, la "direction" de E vers G c'est x.a vers la gauche et y.a vers le bas.
3) Donc si on fait a=(y.a).(1/y) vers le bas sur cette droite (pour se retrouver à la hauteur de D) c'est qu'on fait (x.a).(1/y)=(x/y).a vers la gauche donc on est à une distance y.a+(x/y).a=(y+x/y).a du point C et on voudrait que ça fasse b, c'est à dire que y+x/y=b/a.
4) y+x/y=(y²+x)/y=(1-x^2+x)/racine(1-x^2) et, sur l'intervalle ]0,1[, la fonction x->(1-x^2+x)/racine(1-x^2) est strictement croissante de 1 à +oo donc pour toute valeur de b telle que b>a (donc b/a>1) il va y avoir une et une seule solution au problème.
5) Par contre, à part cas particulier pour le rapport b/a, la résolution de (1-x^2+x)/racine(1-x^2)=b/a va donner un polynôme du 4em degré dont (sauf miracle) les solution ne s’exprimeront pas simplement à l'aide de racines carrées donc on ne pourra pas tracer la solution à la règle et au compas.
6) On peut éventuellement chercher quels sont les cas particuliers pour le rapport b/a tel que la solution soit effectivement traçable à la règle et au compas, c'est à dire tel que l'équation (1-x^2+x)/racine(1-x^2)=b/a soit résoluble uniquement à l'aide de racines carrées.

[Leoncame]

Merci énormément !

[chan79]

Avec une règle, un compas etc.

Si le "etc " signifie qu'on peut par exemple utiliser geogebra, on peut mais c'est pas joli du tout.
On écrit des relations entre x et y pour que FED soit rectangle en E.
(x,y) sont les coordonnées d'un point d'intersection I d'un cercle et d'une parabole ....