Problème de géométrie 2nde

[superglue]

Premièrement, bonjour.

Je suis élève en classe de Seconde et j'ai à réaliser avec un ami un exercice qui nous pose plusieurs soucis et dont voici l'énoncé :

Monsieur Farfelu possède un champ de forme triangulaire et une chèvre Caprice qui n'a envie de brouter que dans un enclos rectangulaire.

Illustration du problème :



Avec : BC = 12 m
HC = 4 m
HA = 6 m
HB = 8 m

A quelle distance de A, Monsieur Farfelu doit-il planter son premier piquet M pour que sa chèvre Caprice dispose du plus grand espace possible.

Donc pour résoudre le problème on nomme x le segment BD, ce qui permet grâce aux théorème de Thales de calculer DG = 6/8 x dans les triangles BDG et BHA.
Par la suite on fait la même chose pour calculer CE = 1/2 x dans les triangles CFE et CHA.

Jusque là nous nous en sommes tirés mais ensuite, notre professeur nous a indiqué qu'il fallait rechercher DE et que nous devions parvenir au résultat De = 12-3/2 x. Malheureusement le calcul DE = HB-BD+HC-CE
= 8-x+4-1/2x
nous donne bien DE = 12-1/2x

Evidemment nous avons pensé que nous avions faux mais sans parvenir à trouver le résultat indiqué. Donc un premier problème.

De plus, sachant tout de même que DE = 12-3/2x nous avons trouvé l'équation
Aire du champs = 6/8x (12-3/2x)

En l'entrant dans la calculatrice nous avons trouvé comme plus grande valeur de DE possible 4(m) qui donne une aire de 18.
Nous supposons donc que le calcul à réaliser pour prouver qu'il s'agit bien de la plus grande valeur possible de DE est la factorisation de l'expression 6/8x (12-3/2x) -18 mais le développement / simplification du calcul et sa factorisation nous pose également problème.

Je remercie donc d'avance toute âme charitable prête à nous aider rapidement.

Merci.

[busard_des_roseaux]

chère Superglue,

quand j'ai songé à l'horrible vérité que vous étiez à la peine sur cet énoncé infâme, je suis rentré dans une affliction profonde dont je ne sors qu'avec peine, et à l'instant.

comme vous ne l'ignorez pas, ce pauvre Thalès est mort depuis des lustres, mais son théorème ne cesse de nous enchanter, même à l'heure actuelle.

j'ai reparcouru les calculs que vous avez bien voulu me laisser lire et je n'y trouve rien à redire.

j'avoue trouver la même formule d'aire que la vôtre et je vais songer à l'écrire sous
cette forme canonique qui met au supplice nos élèves de classe de Seconde..

comme post-scriptum , je confirme votre excellente formule


j'oubliais, j'ai pris la liberté de poser , le segment [AD] étant vilainement couché à l'oblique.

votre très dévoué Busard des roseaux.

[eriadrim]

Tu es sur des mesures. Parce que normalement, AH + HC est censé être supérieur ou égale à AC ce qui n'est pas le cas avec ces valeurs ...

[busard_des_roseaux]

@eriadrim: oui, les mesures soient fausses sur la figure. on n'a pas l'inégalité triangulaire.

[busard_des_roseaux]

les points A et B ont été intervertis en faisant le dessin ?

[busard_des_roseaux]

on en est où ? vous avez détecté votre erreur ?

[superglue]

J'avoue ne pas bien comprendre ou est le problème et comment vous parvenez à trouver l'expression que vous m'avez donné, quoique jusque là notre professeur nous a fait éviter de passer par la recherche d'une quelconque forme canonique donc ce doit être normal.

Je suis désolé de constater que je ne suis pas plus avancé que ce soit pour trouver le calcul permettant de parvenir à DE = 12- 3/2x ou pour simplifier et factoriser la formule de l'aire. Et là-dessus je sèche définitivement.

Quant-à l'échange de AD par BD il correspond effectivement à la véritable inconnue, il s'agit d'une erreur de réécriture de ma part.

[busard_des_roseaux]

les mesures concernant HA,HC et AC sont erronées.

on doit avoir nécessairement AH+HC> AC (inégalité triangulaire, où le plus court chemin est le segment de droite)

C'est difficile de démarrer un énoncé avec des hypothèses fausses. :mur:

vous pouvez indiquer uniquement les hypothèses du livre et pas celles résultant d'un calcul.

[busard_des_roseaux]

est ce que l'on peut supposer ABC triangle équilatéral de côté 12 ? auquel cas

[superglue]

J'ai remarqué des erreurs de recopiage dans mon énoncé, j'ai modifié. Est-ce mieux ?
Sinon tout porte à croire que ABC n'est pas équilatéral, le dessin n'est qu'un modèle et son aspect ne prouve rien.

[busard_des_roseaux]

j'ai refait les calculs en appliquant Thalès.

l'aire vaut










l'aire est maximale en et son maximum est 18.

[superglue]

Merci beaucoup de confirmer notre conjecture. Néanmoins (et avec l'infini désarroi de vous solliciter encore) pourriez vous m'expliquer à quoi correspond votre calcul exactement, j'ai quelques difficultés à m'y retrouver. Est-ce la simplification de l'expression, sa factorisation ?

[busard_des_roseaux]

j'ai refait les calculs en appliquant Thalès.

l'aire vaut

<----distributivité

<----factorisation du coeff de

<---- forme canonique

<---- le signe moins multiplie le second facteur


l'aire est maximale en et son maximum est 18.

ne pas confondre conjoncture=actualité et conjecture=devinette

très cordialement,

[superglue]

Oui, merci de me signaler la coquille. En revanche, pourriez vous m'indiquer comment parvenir à une forme de la formule de l'aire autre que la canonique puisque notre professeur nous a clairement dit de ne pas user de celle-ci. Il nous faut donc trouver une expression tel que :

A = (formule de l'aire factorisée) - 18

Qui permettrait de prouver que pour x = 4, A = 18.

N'y aurait-il pas plus simple que la forme que vous me donnez ?

PS : Excusez moi si je suis maladroit dans mon explication.

[busard_des_roseaux]

effectivement , on résoud l'inéquation après avoir conjecturé 18 pour maximum d'aire


on factorise
on se ramène à une étude de signe.

[superglue]

Mais dois-je résoudre :

3/4x (12- (3/2x) - 18

Ou bien est-ce autre chose ?

De plus j'ajouterai une autre question celle-ci vraiment dérangeante, comment trouve-t-on
DE = 12 - 3/2x ? Puisque notre professeur ne nous l'a pas expliqué et que nos recherches en la matière n'ont rien donné. Il est tout de même fâcheux de donner un nombre dont on ignore la provenance sur une copie.

Voilà, désolé pour mon acharnement mais je dois bien admettre que ce problème m'est (c'est le cas de le dire) plus que problématique.

[busard_des_roseaux]

on applique une fois le théorème de Thalès à gauche dans ABH,on écrit FE=GD et on applique ensuite Thalès dans le triangle ACH

[Shew]

Premièrement, bonjour.

Je suis élève en classe de Seconde et j'ai à réaliser avec un ami un exercice qui nous pose plusieurs soucis et dont voici l'énoncé :

Monsieur Farfelu possède un champ de forme triangulaire et une chèvre Caprice qui n'a envie de brouter que dans un enclos rectangulaire.

Illustration du problème :



Avec : BC = 12 m
HC = 4 m
HA = 6 m
HB = 8 m

A quelle distance de A, Monsieur Farfelu doit-il planter son premier piquet M pour que sa chèvre Caprice dispose du plus grand espace possible.

Donc pour résoudre le problème on nomme x le segment BD, ce qui permet grâce aux théorème de Thales de calculer DG = 6/8 x dans les triangles BDG et BHA.
Par la suite on fait la même chose pour calculer CE = 1/2 x dans les triangles CFE et CHA.

Jusque là nous nous en sommes tirés mais ensuite, notre professeur nous a indiqué qu'il fallait rechercher DE et que nous devions parvenir au résultat De = 12-3/2 x. Malheureusement le calcul DE = HB-BD+HC-CE
= 8-x+4-1/2x
nous donne bien DE = 12-1/2x

Evidemment nous avons pensé que nous avions faux mais sans parvenir à trouver le résultat indiqué. Donc un premier problème.

De plus, sachant tout de même que DE = 12-3/2x nous avons trouvé l'équation
Aire du champs = 6/8x (12-3/2x)

En l'entrant dans la calculatrice nous avons trouvé comme plus grande valeur de DE possible 4(m) qui donne une aire de 18.
Nous supposons donc que le calcul à réaliser pour prouver qu'il s'agit bien de la plus grande valeur possible de DE est la factorisation de l'expression 6/8x (12-3/2x) -18 mais le développement / simplification du calcul et sa factorisation nous pose également problème.

Je remercie donc d'avance toute âme charitable prête à nous aider rapidement.

Merci.

Bonjour

DE = BC - BD - CE

Pour , développez le produit puis ramenez tout au même dénominateur et enfin factorisez le numérateur , vous vous trouverez alors avec une identitée bien connue en classe de seconde et facile à résoudre .

[superglue]

Bien, j'ai appliqué le théorème de Thales dans BAH et BGD ce qui nous donne :

BG/BA = BD/BH = GD/AH ce qui fait BG/BA = x/8 = GD/6

Donc : GD = x*6/8 = 6/8x

GD trouvé j'applique le théorème de Thales dans les triangle CHA et CFE puisque GD = FE et j'obtiens :

CF/CA = CE/CH = FE/AH ce qui fait CF/CA = CE/4 = 6/8x/6

Donc CE = 6/8x*4/6 = 1/2x ?

Et si je ne me suis pas trompé : DE = BC-BD-CE = 12-x-1/2x = 12 - 1/2 - x-x ?

Ici je crois me tromper quand même car de toute façon je ne vois pas comment à partir de ça obtenir le résultat donné par le professeur de 12 - 3/2x que je suppose être le bon puisqu'il nous l'a donné... Je suis très frustré de ne pas comprendre.

Merci tout de même à Shew, cela résout la seconde partie de mon blocage.

[Shew]

Et si je ne me suis pas trompé : DE = BC-BD-CE = 12-x-1/2x = 12 - 1/2 - x-x ?

Ici votre erreur est de vouloir détacher la variable x de et d'en faire une différence . Il faut plutot lire et ne calculer que les valeurs ( et ) sans ne jamais toucher à la variable .