Probléme + fonctions

[cruise67]

· Partie A
Le comptable d’une usine de produits chimiques estime que pour fabriquer q hectolitres d’un certain produit, q compris entre 1 et 30, le coût total en milliers de francs est donné par la fonction C (q²+7q+81).
On suppose que toute la production est vendue.
La recette, en milliers de francs, réalisée pour la vente de q hectolitres de ce produit est donnée par la fonction R (q+7+(81/q)). tous ca fait sur l’intervalle [1 ; 30].


1) a) Déterminer le prix de vente d’un hectolitre de ce produit sachant que 4 hectolitres est égal à 125 euros et que 14 hl est égal à 375 euros .
b) En déduire la formule qui donne la recette R en fonction du nombre q d’hectolitres vendus.
2) a) Déterminer algébriquement pour quelles valeurs de q l’usine est bénéficiaire.
b) Quel est le bénéfice réalisé pour la vente de 14 hectolitres ?

· Partie B
Le coût total, en milliers de francs, en fonction du nombre q d’hectolitres produits est donné par :
C (q) = q² + 7q + 81 q variant dans l’intervalle [1 ; 30].

1) Soit f (q) le coût moyen par hectolitre pour la production de q hectolitres
Donc :
a) Montrer que, sur [1 ; 30], f (q) = q + 7 +81/q.
b) Calculer f ’(q) et vérifier que : f ’(q) = (q-9)(q+9)/q².
c) Préciser le signe de f ’(q) sur [1 ; 30] et dresser le tableau de variation de fonction f.
d) Quelle production assure un coût moyen par hectolitre minimal ?
Quel est ce coût moyen minimal ?