Problème fonction polynôme du second degré

[mama00165]

Bonjour voici l'énoncé de mon exercice: un centre nautique possède une enseigne lumineuse en forme de triangle rectangle isocèle ABC avec AB = AC = 3 m.
On place un point M sur le segment [AB] et on construit le rectangle ANMP en traçant la parallèle à (AC) passant par M qui coupe le segment [BC] en N et la parallèle à (AB) passant par N qui coupe le segment [AC] en P.
Le centre nautique désire afficher un logo dans ce rectangle.
Déterminer la position du point M de sorte que l'aire du rectangle contenant le logo soit maximale.
Voici les calculs que j'ai fait.
Tout d'abord j'ai calculer la longueur BC avec le théorème de Pythagore.
BC^2= AC^2+AB^2
BC^2=3^2+3^2
BC=racine carré de 18.
Puis j'ai calculer l'aire du triangle ABC
(H*l)/2=4.5 cm^2
Puis je me retrouver bloquer ici, je pense que j'aurais besoins d'investigation et /ou d'intervalle de fluctuation mais ne sais pas comme procédé.
Par avance merci de votre aide.

[infernaleur]

Salut un petit dessin serait la bienvenu.
Pour résoudre la question il faudrait et tu réussit a trouver une formule de l'aire du rectangle en fonction d'une variable
Donc on pose AM=x
Il faut maintenant que tu trouves AP ou NM pour utiliser la formule d'aire d'un rectangle, à savoir A=longueur *largeur. Et tu auras donc réussit a exprimer l'aire de ton rectangle en fonction de la variable x et tu pourra étudier cette aire pour voir quelle est son maximum
Pour cela tu peux utiliser le théorème de Thalès pour trouver AP ou NM.

[mama00165]

Cela fait depuis tout à l'heure que j'essaie de résoudre le problème mais en vain. J'ai utilisé thales avec AM =x
(AB/NP)=(BN/BC)=(AP/AC)
3/x=BN/racine de 18=Ap/3
Es ce que pour l'instant c'est bon ?

[infernaleur]

rectangle.png (5.39 Kio) Vu 1498 fois

Je ne suis pas d'accord avec ton utilisation du théorème de Thalès, tu t'es peut-être tromper quand tu as placé tes points dans la figure
Si on utilise Thalès on a :

Comme AM=x AB=AC=3 tu peux en déduire AP.
Et donc tu pourra en déduire


[j'ai modifié mon utilisation de Thalès je m'étais trompé]

[mama00165]

AP=(3*x)/3
AP=x
Donc APNM est un carré
Arectangle= x*x=x²
x²=4,5
x=racine de 4,5 ?

[infernaleur]

AP=(3*x)/3
AP=x
Donc APNM est un carré
Arectangle= x*x=x²
x²=4,5
x=racine de 4,5 ?

Non excuse moi je t'avais donné une mauvaise formule pour Thalès c'est

Et donc comme PN=AM=x on a
Mais comme CP=3-PA tu obtiens
Donc PA=3-x

[mama00165]

que veut dire ? "on a \frac{CP}{3}=\frac{x}{3}"

[mama00165]

C'est bien passer au final

[infernaleur]

Oui désoler j'ai envoyer le message sans vérifier ....

[mama00165]

3-x *x=4,5
3-x²=4,5
-x²=4,5-3
-x²=1,5
x²=-1,5
Il n'y a pas de solution à cette equation?

[infernaleur]

Aire rectangle = x*(3-x)=3x-x²
Attention l'aire du rectangle ne va pas forcément être égale à l'aire du triangle (en effet tu peux pas remplir le triangle avec un seul rectangle)
Mais tu dois trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle qui vaut 3x-x² soit maximale .
Connais tu delta ou la forme canonique ?

[mama00165]

oui

[mama00165]

Je crois voir ce qu'il faut faire:

[infernaleur]

donc première méthode tu met 3x-x² sous forme canonique et tu verras que trouver la max est facile.
Ou sinon tu utilise directement la formule x=-b/2a qui donne directement la maximum.
Je te conseille tout de même de mettre sous forme canonique.

[infernaleur]

Je crois voir ce qu'il faut faire:

ok super

[mama00165]

ici c =-4,5?

[infernaleur]

Qu'est-ce que c ?

[mama00165]

ax²+bx+c
-x²+3x<4,5
-x²+3x-4,5 donc c =-4,5?

[infernaleur]

Attention un polynôme est de la forme ax²+bx+c ici le polynôme est 3x-x² donc c=0.
Mais tu as raison on a -x²+3x<4.5 car l'aire du rectangle sera forcément plus petite que l'aire du triangle est donc
-x²+3x-4,5<0 mais la tu as un autre polynôme ce n'est plus le même !
tu dois mettre sous forme canonique le polynôme 3x-x² pour déduire le maximum

[infernaleur]

Ou bien utiliser la formule que je t'ai donné (-b/2a) qui donne directement le résultat