Problème Fonction Dérivée

par **AllanPoe** » 21 Juin 2013, 18:19

Bonjour à tous,
Je me trouve dans une situation assez bizarre, nous sommes en train d'étudier les fonctions dérivée et là je me trouve dans un problème pour un DM ou j'ai l'impression de pouvoir le résoudre sans aucune fonction dérivée, ou du moins j'ai l'impression qu'elles me sont inutiles et ça me parait bizarre.

Je vous fais un petit récapitulatif :

Nous devons trouver le volume et la taille la plus adéquat pour une navette spatiale qui peut être soit un cône, soit un cylindre, soit un parallélépipède rectangle à base carrée tous devant être inscrit dans une sphère de rayon 10m.

Premiere tâche trouvé les fonction permettant de calculer leur volume en choisissant une inconnue x.
Je vous donne les fonctions que j'ai trouvé, j'aimerais savoir si c'est bien cela
J'ai choisit la hauteur h comme inconnue :

Cône : (100.pi.x)/3
Cylindre : 100.pi.x
Parallélépipède : 50.x

Ce qui m'inquiète c'est que par la suite on me demande d'étudier ces fonctions et je suppose avec les dérivée puisque nous sommes en plein dedans mais je n'en vois pas l'utilité ?
Me sui-je complètement trompé dans les fonctions des volumes ? :marteau:

par **Luc** » 21 Juin 2013, 19:03

Bonsoir,

je pense qu'il y a un petit souci dans tes formules, elles devraient être homogènes à des m^3 (ce sont des volumes). Or je ne vois que x, donc des mètres...

Il faut que tu:
1 - dises clairement ce qu'est x (la longueur du côté, du rayon?)
2 - clarifies le rôle de h : c'est une inconnue, mais elle n'apparaît pas dans tes formules.
3 - penses bien à la contrainte que tes volumes doivent être inscrits dans la sphère (fais un dessin).

par **AllanPoe** » 21 Juin 2013, 19:23

Luc a écrit:Bonsoir,

je pense qu'il y a un petit souci dans tes formules, elles devraient être homogènes à des m^3 (ce sont des volumes). Or je ne vois que x, donc des mètres...

Il faut que tu:
1 - dises clairement ce qu'est x (la longueur du côté, du rayon?)
2 - clarifies le rôle de h : c'est une inconnue, mais elle n'apparaît pas dans tes formules.
3 - penses bien à la contrainte que tes volumes doivent être inscrits dans la sphère (fais un dessin).

Enfaite c'est ca c'est que j'ai choisit h=x :/
les x représentent h

Mais prenons par exemple le Cône

La formule pour calculer le volume c'est bien Bxh/3 non ?
si mon inconnue est h soit x
et que je connais le rayon de la sphère je connais de même le rayon de la base du cône étant donné qu'il doit être inscrit dans la sphère.

Ca me donne pas : 100.pi.x/3 ?

par **AllanPoe** » 23 Juin 2013, 18:41

Ca y est ! j'ai trouvé mon erreur, du moins pour les deux premier cas, je m'immaginais très mal ce que ca donnait et je pensais que le rayon était constant.

j'ai finalement trouvé ceci :

Cône :
Soit S le sommet du cône, O le centre du cercle de la sphère, et O' le centre de la base de la pyramide

x = O'O

donc je définis h en fonction de x ce qui me donne : R(de la sphère) + x
soit : 10+x

Ensuite avec Pythagore je trouve r en fonction de x : r^2= (10^2-x^2)

FORMULE DU VOLUME : V= pi.1/3.(10-x)(10+x)^2

Cylindre :

J'ai pris h=x
Donc r^2 = 10^2-(x/2)^2

FORMULE DU VOLUME : V= pi.x(10-x/2)(10+x/2)

Mais j'avoue que pour le parallélépipède à base carrée je bug un petit peu :s
Si quelqu'un pouvait m'aider je serais ravie !

par **chan79** » 23 Juin 2013, 19:48

Salut
Pour le cône, j'ai:

Pour x=0 et pour x=20, ça doit faire 0

par **AllanPoe** » 23 Juin 2013, 19:55

chan79 a écrit:Salut
Pour le cône, j'ai:

Pour x=0 et pour x=20, ça doit faire 0

Oulaa o.O
Alors ma formule est complètement fausse ?

par **chan79** » 23 Juin 2013, 19:58

AllanPoe a écrit:Oulaa o.O
Alors ma formule est complètement fausse ?

Je refais mon calcul.

par **chan79** » 23 Juin 2013, 20:03

AllanPoe a écrit:Oulaa o.O
Alors ma formule est complètement fausse ?

utilise Pythagore dans le triangle en couleur.
C'est bien le résultat que je t'avais donné
S'il faut que le volume soit le plus grand possible, il va falloir dériver.

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par **Luc** » 23 Juin 2013, 20:09

AllanPoe a écrit:Ca y est ! j'ai trouvé mon erreur, du moins pour les deux premier cas, je m'immaginais très mal ce que ca donnait et je pensais que le rayon était constant.

j'ai finalement trouvé ceci :

Cône :
Soit S le sommet du cône, O le centre du cercle de la sphère, et O' le centre de la base de la pyramide

x = O'O

donc je définis h en fonction de x ce qui me donne : R(de la sphère) + x
soit : 10+x

Ensuite avec Pythagore je trouve r en fonction de x : r^2= (10^2-x^2)

FORMULE DU VOLUME : V= pi.1/3.(10-x)(10+x)^2

EDIT : ça, c'est bon.

par **AllanPoe** » 23 Juin 2013, 20:09

Mais si moi j'ai pris OO'= x

ca fait :

10^2 = r^2+x^2

10^2-x^2 = r^2 Non ?

par **AllanPoe** » 23 Juin 2013, 20:12

chan79 a écrit:utilise Pythagore dans le triangle en couleur.
C'est bien le résultat que je t'avais donné
S'il faut que le volume soit le plus grand possible, il va falloir dériver.

Uploaded with ImageShack.us

Ahh donc tu as pris h=x
Ok

par **Luc** » 23 Juin 2013, 20:13

Je ne sais pas si vous avez la même paramétrisation en fait.
Pour moi, x c'est la distance entre O, centre de la sphère, et O', centre de la base du (demi) cône inscrit dans le cercle. x varie entre 0 (cas où O=O') et R (cas où O est sur la sphère), puisque le cône est inscrit. Du coup le rayon r(x) de la base du cône vaut R en x=0 et 0 en x=R.

Et si l'on appelle M un point de la base du cône, on applique Pythagore dans le triangle MO'O, rectangle en O', et il vient r^2+x^2=R^2.

par **AllanPoe** » 23 Juin 2013, 20:18

Luc a écrit:Je ne sais pas si vous avez la même paramétrisation en fait.
Pour moi, x c'est la distance entre O, centre de la sphère, et O', centre de la base du (demi) cône inscrit dans le cercle. x varie entre 0 (cas où O=O') et R (cas où O est sur la sphère), puisque le cône est inscrit. Du coup le rayon r(x) de la base du cône vaut R en x=0 et 0 en x=R.

Et si l'on appelle M un point de la base du cône, on applique Pythagore dans le triangle MO'O, rectangle en O', et il vient r^2+x^2=R^2.

Donc r^2 = R^2-x^2 ?

Ok merci j'ai vu le "EDIT" plus haut.

Maintenant la question c'est pour le parallélépipède, j'ai beau essayer de faire un croquis je comprends vraiment pas comment calculer l'air. :soupir2:

par **chan79** » 23 Juin 2013, 20:21

Luc a écrit:Je ne sais pas si vous avez la même paramétrisation en fait.
Pour moi, x c'est la distance entre O, centre de la sphère, et O', centre de la base du (demi) cône inscrit dans le cercle.

oui, je me suis embrouillé ... je te laisse continuer :zen:

par **Luc** » 23 Juin 2013, 20:23

chan79 a écrit:oui, je me suis embrouillé ... je te laisse continuer :zen:

Je pense que ton résultat est juste aussi, modulo le changement d'origine (je n'ai pas regardé en détail).

par **Luc** » 23 Juin 2013, 20:26

AllanPoe a écrit:Donc r^2 = R^2-x^2 ?

Ok merci j'ai vu le "EDIT" plus haut.

Maintenant la question c'est pour le parallélépipède, j'ai beau essayer de faire un croquis je comprends vraiment pas comment calculer l'air. :soupir2:

Pour le parallélépipède, ça va être la même chose que pour le cylindre, sauf que le r va correspondre ici à une demi diagonale du carré de base, donc

, où a(x) est la longueur du côté du carré de base. Tu appliques Pythagore exactement pareil pour trouver a(x) en fonction de x. Et la hauteur va être 2x.
Je trouve V=4x(10-x)(10+x), vérifie.

par **Luc** » 23 Juin 2013, 20:29

AllanPoe a écrit:Cylindre :

J'ai pris h=x

Vu ce que tu as fait pour le cône, ça serait plus cohérent de prendre h=2x, pour conserver x la distance entre le centre de la sphère et le milieu de la base du solide.

AllanPoe a écrit:Donc r^2 = 10^2-(x/2)^2

FORMULE DU VOLUME : V= pi.x(10-x/2)(10+x/2)

ça c'est bon, si tu l'écris avec h=2x, ça fait V= 2pi.x(10-x)(10+x)

par **AllanPoe** » 23 Juin 2013, 20:39

Luc a écrit:Pour le parallélépipède, ça va être la même chose que pour le cylindre, sauf que le r va correspondre ici à une demi diagonale du carré de base, donc , où a(x) est la longueur du côté du carré de base. Tu appliques Pythagore exactement pareil pour trouver a(x) en fonction de x. Et la hauteur va être 2x.
Je trouve V=4x(10-x)(10+x), vérifie.

je comprends pas trop le :

Moi je crois a peu près avoir compris ce que tu m'as dis et donc j'ai pris x genre la moitié de la hauteur. Donc oui j'ai bien h=2x

Et donc après j'ai donc (R/2)^2 = x^2 +r^2 où r représente la moitié du côté du carré
Et je trouve que le côté est égale à : (10-2x) :marteau:

par **Luc** » 24 Juin 2013, 10:09

AllanPoe a écrit:Et donc après j'ai donc (R/2)^2 = x^2 +r^2 où r représente la moitié du côté du carré

Je ne comprends pas comment tu obtiens cette formule.
Pour moi Pythagore donne R^2=x^2+r^2, où r représente la moitié de la diagonale du carré.
Et tu sais que dans un carré, le rapport entre une diagonale et un carré vaut

.

par **Black Jack** » 24 Juin 2013, 11:03

A partir du dessin fait avant :

Pour le cône :

h = OS + OO' (avec h la hauteur du cône)
h = 10 + OO'
OO' = (h-10)

O'A² = OA² - OO'²
r² = 100 - (h-10)² (avec r le rayon de la base du cône)
r² = 100 - (h² - 20h + 100) = 20h - h²

Volume du cône : V = (Pi/3).(20h - h²).h
V = (Pi/3).h²(20 - h) (avec h dans [0 ; 20])
*****
Pour le cylindre :

hauteur du cylindre h et rayon de base du cylindre r :
(h/2)² + r² = R²
r² = 100 - h²/4

V = Pi.r².h
V = Pi.(100 - h²/4).h (avec h dans [0 ; 20])
*****
:zen:

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