Probleme ES equation, tangent dans un problème

[Agathe-72]

Voilà l'énoncé de mon DM que je n'arrive pas à résoudre ...

Une usine fabrique un solvant, sa capacité de production x, en hectolitres, est comprise entre 1 et 26.
Le coût total de production, en milliers d'euros, est donné par la fonction C représentée sur le graphique par la courbe C.
La recette, en milliers d'euros, est donnée par la fonction R représentée par la droite D.

A/ Lecture graphique

1/ Déterminer graphiquement le prix de vente de 20 hectolitres de produit et en déduire l'expression de R(x) en fontion de x.
Je pense que la réponse est 700€

2/ Déterminer l'intervalle des valuers de x pour lesquelles l'usine est bénéficiaire.
Là c'est l'intervalle, lorsque la coube C est dessous la courbe D donc [3; 24]

3/ A l'aide d'une règle, déterminer l'abscisse x0 d'un point de C où la tengente est parallèle à D. Que dire du bénéfice réalisé avec cette valeur x0 ?

B/ Bénéfice maximal

Le bénéfice B en milliers d'euros, est donné par B(x) = -3x²+82x-261

4/ Démontrer que le coût total de C est donné par C(x) = 3x²-47x+261

5/ Quelle est la production qui assure le bénéfice maximal ? on note cette production x1.
Déterminer une équation de la tengente à C au point d'abscisse x1

6/ Vérifier la cohérence des résultats obtenus en A.3

Je mets en dessous le liens de ma courbe, j'ai vraiment besoin de votre aide surtout pour la seconde partie ...
https://www.dropbox.com/s/455wvm3pewagfho/photo%202.JPG?m


Merci

Agathe

[titine]

Voilà l'énoncé de mon DM que je n'arrive pas à résoudre ...

Une usine fabrique un solvant, sa capacité de production x, en hectolitres, est comprise entre 1 et 26.
Le coût total de production, en milliers d'euros, est donné par la fonction C représentée sur le graphique par la courbe C.
La recette, en milliers d'euros, est donnée par la fonction R représentée par la droite D.

A/ Lecture graphique

1/ Déterminer graphiquement le prix de vente de 20 hectolitres de produit et en déduire l'expression de R(x) en fontion de x.
Je pense que la réponse est 700€
Oui.
Et comme 20 hl se vendent 700 € alors 1 hl se vend 700/20 = 35 €
Donc lorsqu'on vend x hl la recette est 35*x €
R(x) = 35x

2/ Déterminer l'intervalle des valuers de x pour lesquelles l'usine est bénéficiaire.
Là c'est l'intervalle, lorsque la coube C est dessous la courbe D donc [3; 24]
Oui

3/ A l'aide d'une règle, déterminer l'abscisse x0 d'un point de C où la tengente est parallèle à D. Que dire du bénéfice réalisé avec cette valeur x0 ?
Là tu prends une règle et tu la fais glisser parallèlement à D jusqu'à ce qu'elle soit tangente à la courbe et tu regardes l'abscisse du point où elle est tangente. A vu d'oeil ça doit être vers 14

B/ Bénéfice maximal

Le bénéfice B en milliers d'euros, est donné par B(x) = -3x²+82x-261

4/ Démontrer que le coût total de C est donné par C(x) = 3x²-47x+261

5/ Quelle est la production qui assure le bénéfice maximal ? on note cette production x1.
Déterminer une équation de la tengente à C au point d'abscisse x1

4) Bénéfice = Recette - Coût
B(x) = R(x) - C(x)
Donc C(x) = R(x) - B(x)

5) Étudie les variations de B pour déterminer le bénéfice maximal.
Comment détermine t on l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a (formule de cours) ?

[titine]

Excuse.
La recette pour 20 hl n'est pas 700€ mais 700 milliers d'euros.
Mais ça change rien après.
La recette en milliers d'euros pour x hl est bien 35x

[Agathe-72]

Excuse.
La recette pour 20 hl n'est pas 700€ mais 700 milliers d'euros.
Mais ça change rien après.
La recette en milliers d'euros pour x hl est bien 35x

Merci de ta première réponse, dans le debut de la deuxieme partie j'ai suivi ce raisonnement dis moi si je me trompe :

On a B(x) = R(x) - C(x)
Donc, C(x) = R(x) - B(x)
Soit : 3x² -47x +261 = x- (3x²+82x -261)
---> x = 3x² - 47x +261 +3x² +82x -261
x = 35x
Ce qui correspond à la première donnée R(x)= 35x ?


La oû je bloque c'est pour la suite, j'ai oublié une question, je dois determiner par le calcul l'intervalle des valeurs de x pour lesquelles l'usine est bénéficiaire.

Pour cela, j'ai déterminé que B(x) devait être > 0 soit l'inéquation :
-3x² + 82x 9-261 >0
je pensais faire un tableau de signe pour avoir l'intervalle directement or, pour cela je devait factoriser mon équation par Delta je suppose mais Delta ne tombe pas sur une racine juste et je n'ai jamais été confronté à cela pour mes x1 et x2 :/ du coup je suis un peu perdue :hum:

[titine]

Merci de ta première réponse, dans le debut de la deuxieme partie j'ai suivi ce raisonnement dis moi si je me trompe :

On a B(x) = R(x) - C(x)
Donc, C(x) = R(x) - B(x)

C(x) = 35x - (-3x²+82x-261) = .........
Et on démontre ainsi ce qui est demandé

[titine]

La oû je bloque c'est pour la suite, j'ai oublié une question, je dois determiner par le calcul l'intervalle des valeurs de x pour lesquelles l'usine est bénéficiaire.

Pour cela, j'ai déterminé que B(x) devait être > 0 soit l'inéquation :
-3x² + 82x 9-261 >0
je pensais faire un tableau de signe pour avoir l'intervalle directement or, pour cela je devait factoriser mon équation par Delta je suppose mais Delta ne tombe pas sur une racine juste et je n'ai jamais été confronté à cela pour mes x1 et x2 :/ du coup je suis un peu perdue :hum:

Ce n'est pas un problème.
Tu trouves x1 environ égal à 3,7 et x2 environ égal à 23,7 !

[Agathe-72]

Ce n'est pas un problème.
Tu trouves x1 environ égal à 3,7 et x2 environ égal à 23,7 !

Du coup, ca me donne :

Delta = 3592
X1 = 23.7
X2 = 3.7

Donc B(x) = -3(x-23.7)(x-3.7)
J'ai fait le tableau de signe qui me donne
f(x) 0 pour ]3.7 ; 23.7[ : intervalle dans lequel il est bénéficiaire ?

Pour ma dernière question "Quemme est la production qui assure le bénéfice max (x1) je sais le lire graphiquement mais je n'ai pas idée de comment le trouver par le biais du calcul, dois-je le faire avec la fonction graphique de ma calculatrice ?

[titine]

Dresse le tableau de variations de B par exemple en calculant la dérivée.

[Agathe-72]

Dresse le tableau de variations de B par exemple en calculant la dérivée.

Cela ne donne rien, j'ai essaillé de faire le tableau de variation de b puis de sa dérivée mais je n'arrive pas à savoir vers quoi m'axer reelement

[titine]

B(x) = -3x²+82x-261
B'(x) = ?

Ensuite étudie le signe de B'.
Lorsque B' positif B est croissante, lorsque B' négatif B décroissante.

Tu vas voir que B est croissante puis décroissante. Donc elle atteint un maximum.

[Agathe-72]

Merci de ton aide en fait hier soir j'ai continué jusqu'à avoir trouvé ce que tu me dis là, merci de ton aide qui m'a été très précieuse !