Problème de dérivation...

par **bouilledange** » 19 Déc 2006, 15:29

Bonjour! J'ai un problème à résoudre sur la partie dérivation et je suis bloquée si quelqu'un pourait m'aider merci d'avance:

ENONCE:
ABCD est un carré de côté1. M est un point du segment [AB]. Sur la demi droite portée par (BC) d'origine C et ne contenant pas B, on place un point N tel que CN=AM; la droite (MN) coupe (DC) en P.
On pose AM=x avec 0Le but de l'exercice est de trouver M sur [AB] tel que la puissance PC soit maximale.

1. Démontrez que PC=(x-x²)/(1+x)

2.a) Etudiez les variations de la fonction f définie sur [0;1] pr f(x)=(x-x²)/(1+x)
b) Déduisez en la valeur de x pour laquelle la distance PC est maximale.

REPONSES:
1. On a:
AM=CN=x
P appartient à (MN) et [CN)
(AB) est perpendiculaire à (BC) donc (AM) est perpendiculaire à (CN)
Je pensais utiliser Thalèes mais on n'a pas de droites parrallèles ...

par **maturin** » 19 Déc 2006, 15:52

c'est bien thales qu'il faut utiliser dans le triangle BMN
tes droites parallèles sont MB et PC
et il est facile de connaitre les valeur de MB,BN et CN en fonction de x donc avec thales tu trouveras aussi CP.

pour le 2 il faut utiliser (u/v)'=(u'v-uv')/v²
le max est atteint quand la dérivée s'annule (il faut étudier le signe de la dérivée et faire un petit tableau de variation pour le démontrer)

par **bouilledange** » 19 Déc 2006, 16:12

ho la la je bloque sur thalès
propriété de thalès c'est avec 2points qui appartiennent à une droite chacune + 2 droites parallèles
là on a (MB) // (PC) donc (AM)//(PC)
mais je sais plus comment on trouve les points et les droites

(n'importe quoi moi aujourd''hui je sais plus rien!)

par **maturin** » 19 Déc 2006, 17:37

ben t'as M et B sur la droite (MB)
P et C sur la droit (PC)
(MB)//(PC)

et M et P sur la droite (NM)
B et C sur la droite (NB)

donc NC/NB=NP/NM=PC/MB

par **bouilledange** » 19 Déc 2006, 18:39

ha oui je suis bète !
donc on a
PC/1-x=x/1+x donc PC=(x-x²)/(1+x)
parfait pour le 1.

2.a)
on calcule f ' (x)
f ' (x) = [(1-2x)(1+x)-1(x-x²)]/ (1+x)²
f ' (x) = (-x²-2x+1)/(1+x)²

signe de f ' (x)
delta= (-2)²-4*(-1)*1= 4+4=8
x1=(-b+racine carré de delta) / 2a= (2+racine de 8) / -2
x2=(-b-racine carré de delta) / 2a= (2-racine de 8) / -2

là on peut simplifier par 2 ou pas et est ce que c'est ça ??

par **maturin** » 19 Déc 2006, 18:57

c'est ça tu as :
x1=-1-rac(2)0
donc f'(x)>0
et sur [x2,1] f((x)<0

le max est en x2
et tu dois trouver

mais c'est pas demander...

par **bouilledange** » 19 Déc 2006, 20:10

euh je vois pas trop comment on trouve le résultat x1=-1-rac(2)<0 et
x2=-1+rac(2)
sinon pour le reste je vois tu peux m'expliquer stp??

par **maturin** » 20 Déc 2006, 10:59

ben tu l'as dit toi même on prend tes solution et on simplifie par 2
Car

par **bouilledange** » 20 Déc 2006, 15:30

x1=(-b+racine carré de delta) / 2a= (2+racine de 8) / -2=(2+2rac2)/-2=-2-rac2
x2=(-b-racine carré de delta) / 2a= (2-racine de 8) / -2=(2-2rac2)/-2=-2+rac2

non c'est pas ça ?

par **maturin** » 20 Déc 2006, 15:35

de manière plus générale

c'est du calcul de base tout ça !

par **bouilledange** » 20 Déc 2006, 16:09

ha d'accord donc je vois mieux comment on trouve x1=-1-rac2 et x2=-1+rac2

comme une racine carrée n'est jamais négative x1 est impossilbe donc il reste seulement x2.

tableau de variation sur [0;2]
x 0 -1+rac2 2
f'(x) + 0 -
varit° de f croissante X décroissante

por trouver X je dois calculer f(x2)c'est à dire f(-1+rac2)
f(-1+rac2)= [(-1+rac2)-(-1+rac2)²] / (1-1+rac2)
f(-1+rac2)= (-1+rac2-1+2rac2+2)/rac2
f(-1+rac2)= (-4-rac2)/rac2

par **maturin** » 20 Déc 2006, 16:32

effectivement un racine n'est jamais négative mais bon ça n'a pas grand chose à voir.
Là tu as x1=1-rac2 = -0.414 <0
et tu sais que ton intervalle de définition est [0,1]
donc x1 n'est pas dans ton intervalle de définition donc cette racine ne nous intéresse pas.

si tu fais un tableau de variation tu verras que la distance PC (égale à f(x)) est maximum pour X=x2

la réponse à la question posée est donc x2.

le calcul de f(x2) n'est pas demandé, cela représente la distance max de PC, hors on te demande juste pour quelle valeur de x PC sera maximum.

heureusement car ton calcul est faux
f(-1+rac2)= [(-1+rac2)-(-1+rac2)²] / (1-1+rac2)
f(-1+rac2)= (-1+rac2-(1-2rac2+2))/rac2
f(-1+rac2)= (-4+3rac2)/rac2
f(-1+rac2)= -4/rac2+3
f(-1+rac2)= -2rac2+3

par **bouilledange** » 20 Déc 2006, 16:41

ok ok
donc la réponse à la question 2b) est x2 car sur l'intervalle [0;1] x admet un maximun en x=x2

merci !

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