Un problème dèrière quelque chose d'anodin

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 16:41

Bonjour,

aujourd'hui mon prof de math m'a donné un dm et il y a un problème ( c'est moi qui me le suis trouvé ...) :

On donne p le prix de vente d'un camion ( et oui ...) et le nénéfice est donc donné ( après calculs mais on s'en fout) par B(x)= -0.02x²+(p-20)x-40000

et on nous demande de calculer le discriminant , donc le discriminant vaut ici
p²-40p-2800

et ensuite on nous demande de dire quand le bénéfice ne peut être positif, alors en fait je pense que le prof de math veut qu'on résoude p²-40p-2800<0 .... mais en réalité c'est faux de faire cela, il suffit que les deux racines du trinome soient négative ... qu'en pensez vous ? ( Pour moi c'est cela car on ne peut pas vendre - 150 camions !!! )

Merci :zen:

par **Ben314** » 18 Déc 2009, 16:42

Salut,
'x' représente le nombre de camions vendus ?
Si c'est le cas, il faut faire attention, car x doit être positif et entier.
(si ta fonction n'est positive qu'entre 3.2 et 3.6 alors...)

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 16:49

oui en plus, donc a mon avis le prof n'a pas dû réfléchir à cela ...

par **Ben314** » 18 Déc 2009, 16:53

Il faut donc (dans l'ordre)
1) Regarder s'il y a des racines
2) Si oui, regarder si la plus grande des deux x2 est positive
3) Si oui regarder si la plus petite x1 est positive et traiter 2 sous cas :
a) elle ne l'est pas => y a t'il un entier entre 0 et x2 ?
b) elle l'est => y a t'il un entier entre x1 et x2 ?

P.S. : vu la tète du polynôme, il y a un cas clairement exclu...
P.S.2. : il peut aussi être utile de considèrer le sommet de la parabole...

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 16:57

c'est donc une suite paramétrée , u(n)=-0.02n²+(p-20)n-40000 avec p un paramètre réel positif :) et n un entier naturel bien sur,

comment on peut étudier le signe de ce gros machin ?

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 17:00

1) le nombre de racines dépend du paramètre p ...

ca m'a pas l'air très facile pour des 1S, je part demain matin et reviens pour noel, alors j'ai pas super le temps de me pencher dessus, mais son exo tombe en morceaux je crois ...

par **Ben314** » 18 Déc 2009, 17:00

A mon avis, le plus simple est de faire le plus gros travail possible comme dans R (i.e. commencer par chercher l'ensemble des réels x tels que x et la fonction soient positifs) puis essayer de voir si, parmi les solutions réelles, il y en a des entières (on garde le plus dur pour la fin...)

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 17:04

a oui, peut on avoir deux racines négatives, du fait que p soit toujours positif ( je suis désolé, j'ai pas de papier et pas beaucoup de temps, alors je réfléchie pas énormément dsl) ?

par **Ben314** » 18 Déc 2009, 17:08

A mon avis, le prof attend la réponse "dans R" (qui me parrait pas trop dur niveau 1er) mais ce n'est forcément trés dur de chercher ensuite s'il y a des solutions dans N (je suis sûr que pour "plein" de p, il est clair qu'il n'y en a pas et que pour "plein" de p il est clair qu'il y en a...)

P.S.2 : on peut résoudre le problème dans R sans calculer les racines, mais uniquement en "regardant" Delta, le signe du produit des deux racines et le signe de la somme des deux.....

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 17:15

Ben314 a écrit:A mon avis, le prof attend la réponse "dans R" (qui me parrait pas trop dur niveau 1er) mais ce n'est forcément trés dur de chercher ensuite s'il y a des solutions dans N (je suis sûr que pour "plein" de p, il est clair qu'il n'y en a pas et que pour "plein" de p il est clair qu'il y en a...)

P.S.2 : on peut résoudre le problème dans R sans calculer les racines, mais uniquement en "regardant" Delta, le signe du produit des deux racines et le signe de la somme des deux.....

tu veut dire d'abord on s'assure que sur R+ la parabole ne passe pas au dessus de l'axe des abscisses, puis, on essaye de regarder si il y a des p qui n'affectent pas de genre positif de 3.2 a 3.5 ..

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 17:18

je reviens aux alentours des 21h .. si quelqu'un pourrait m'aider ce soir ... merci :)

par **annick** » 18 Déc 2009, 17:39

Bonsoir,
tu dis que la formule du bénéfice a été trouvée par des calculs précédents. Es-tu absolument sûr de ces calculs ?

par **Anonyme** » 18 Déc 2009, 17:50

F(p)=p²-40p-2800<0

Dans B(x) le coefficiant de x² est negatif donc si le discriminant de B(x) est negatif (F(p)<0) alors B(x) serait negatif quelque soit le nombre de camions vendus. Et c'est justement cela qu'on recherche. On ne veut pas le cas ou F(p) est positif car dans ce cas il peut y avoir benefice selon les valeur de x or dans l'enonce:

et ensuite on nous demande de dire quand le bénéfice ne peut être positif

Il reste a voir quand F(p) est negatif.
Tu calcule le discrimant de F(p) il est strictement positif. Tu cherche alors les racine de ce polynome p1 et p2 (avec p1 < p2).
F(p) est negatif pour p appartient ]p1 , p2[ et p appartient a ]0 , +oo]
Tu trouve l'intersection de ces deux intervalles.
Et le probleme est resolu.

Ton prof avait raison je ne voit pas ou est le probleme ni ou le fait que x est entier intervient.

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 20:09

annick a écrit:Bonsoir,
tu dis que la formule du bénéfice a été trouvée par des calculs précédents. Es-tu absolument sûr de ces calculs ?

ne t'en fais pas pour ça ...

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 20:14

Qmath a écrit:F(p)=p²-40p-2800<0

Dans B(x) le coefficiant de x² est negatif donc si le discriminant de B(x) est negatif (F(p)<0) alors B(x) serait negatif quelque soit le nombre de camions vendus. Et c'est justement cela qu'on recherche. On ne veut pas le cas ou F(p) est positif car dans ce cas il peut y avoir benefice selon les valeur de x or dans l'enonce:

Il reste a voir quand F(p) est negatif.
Tu calcule le discrimant de F(p) il est strictement positif. Tu cherche alors les racine de ce polynome p1 et p2 (avec p1 < p2).
F(p) est negatif pour p appartient ]p1 , p2[ et p appartient a ]0 , +oo]
Tu trouve l'intersection de ces deux intervalles.
Et le probleme est resolu.

Ton prof avait raison je ne voit pas ou est le probleme ni ou le fait que x est entier intervient.

en fait le problème vient du fait que F(p) peut tout a fait être positif ... il faut simplement que p1 et p2 soient négatifs en ces cas là ...
Je vais y réfléchir et je vous dirais sur quoi j'arrive ,

PS: Pour le fait que x soit entier, et bien ca change que si B(x) est positif sur par exemple[2.5;2.8] il n'y aura pas de bénéfice, pourtant, on aura deux racines positives ... c'est pas si simple même si ça doit pas être si compliqué que cela en fait !!

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 20:42

donc je récapitule,

p est positif, x en entier positif, et on a les cas successifs a traiter :

-le discriminant est négatif, pas dé bénéfices => facile a traiter
-le discriminant est positif, et on a deux racines négatives auquel cas il n'y a pas de bénéfices. Donc par contre ca devient déjà plus dur a traiter
- deux racines positives, dont la partie positive est compris entre deux entiers ( là ca me parrait vraiment dur a traiter ...)

pour le deuxième cas, je me suis ramener a essayer de trouver déjà des p vérifiants que les deux racines soient négatives,

il faut donc résoudrele système

par **Ben314** » 18 Déc 2009, 21:12

Tant que tu cherche uniquement le signe des racines, il est inutile d'écrire les racines :
Quel est le produit des racines ? Leur somme ?

P.S. As tu regardé quand le discriminant est positif ?

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 21:37

Alors le discriminant de la fonction bénéfice est négatif entre 20-40sqrt2 et 20+40sqrt2

grâce au produit des racines et à la somme, j'en déduis, que en fait pour avoir deux racines négatives il faut et il suffit que p soit inférieur à 20-40sqrt2 ( tu peut vérifier ça le fait) or c'est un nombre négatif ... et p doit être positif, donc le cas est exclu,

donc maintenant que jai isolé les cas où on a deux racines négatives ou le discriminant négatif, reste ( je pense ) le plus dur, le cas ou on a du positif mais entre deux entiers et là je suis légèrement bloqué ... ( même beaucoup !! )

on travail donc avec p supérieur a 20+40sqrt2 et on a donc deux racines réelles,

par **Ben314** » 18 Déc 2009, 22:08

benekire2 a écrit:on travail donc avec p supérieur a 20+40sqrt2 et on a donc deux racines réelles

et, dans ce cas, en regardant uniquemement la somme et le produit des racines, tu voit qu'elle sont...
Aprés, si tu tu veut savoir s'il y a ou pas des solutions entières, tu peut commencer par constater que tout intervalle de

de largeur plus grande que 1 contient forcément un entier.
Il ne te restera plus alors qu'a étudier les cas où p est dans un tout petit intervalle...

par **benekire2** » 18 Déc 2009, 22:11

Ben314 a écrit:et, dans ce cas, en regardant uniquemement la somme et le produit des racines, tu voit qu'elle sont...
Aprés, si tu tu veut savoir s'il y a ou pas des solutions entières, tu peut commencer par constater que tout intervalle de de largeur plus grande que 1 contient forcément un entier.
Il ne te restera plus alors qu'a étudier les cas où p est dans un tout petit intervalle...

deux racines positives j'ai oublié de préciser,

Le problème, c'est que même un intervalle d'amplitude 0.1 peut contenir un entier, et c'est là tout le problème. . .

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