Problème de cylindres

[Metalleuse]

Bonjour. Voila mon problème : j'ai un exercice à faire en mathématiques mais je n'y arrive pas trop : "On dispose d'une feuille rectangulaire de dimensions x et y (en centimètres) dont le périmètre reste fixe, égal à 60 cm. A l'aide de ce rectangle, on fabrique un cylindre de hauteur x et de rayon de base R. On cherche à fabriquer le cylindre dont le volume est maximal. [...]
1) Exprimer le rayon R de la base en fonction de y, puis en fonction de x.
2) Exprimer le volume V(x) du cylindre en fonction de x.
3) A l'aide de la calculatrice, trouver pour quelle valeur de x le volume de ce cylindre semble maximal. [...]
4) Etudier le signe de V(10) - V(x). En déduire pour quelle valeur de x le volume du cylindre est maximal (on a admit que x app/ [0 ;30]).
5) Calculer les dimensions de la feuille rectangulaire et le rapport de la longueur sur la largeur.

Voici ce que j'ai fait :
1) périmètre de la base : 2;)R (;) = pie)
Soit y, la longueur du rectangle et donc le périmètre de la base.
Donc 2;)R = y equiv/ (2;)R) / (2;)) = y / (2;))
equiv/ R = y / (2;))
Pour x, je n’ai pas trouvé
2) Soit V(x) le volume du cylindre et x la largeur du rectangle et donc la hauteur du cylindre.
V(x) = ;)R²x cm3
3) Je n’ai pas répondu à cette question.
4) Si x app/ [0 ;10], V(10) – V(x) = (;)R²*10) – (;)R²x)
= 10;)R² - x;)R²
donc V(10) – V(x) >= 0
Si ) x app/ [10 ;30], V(10) – V(x) = (;)R²*10) – (;)R²x)
= 10;)R² - x;)R²
donc V(10) – V(x) <= 0
Par conséquent, le volume du cylindre est maximal si x = 10.
5) périmètre de la feuille = 60 = 2(x+y)
Donc 60 = 2(10+y)
equiv/ 60 = 20 + 2y
equiv/ 60 – 20 = 20 + 2y - 20
equiv/ 40 = 2y
equiv/ 40 / 2 = 2y / 2
equiv/ y = 20
x = 10 et y = 20 or 20 = 2*10 donc y = 2x

Est-ce que quelqu’un peut me dire si je me suis trompée ou si il connaît la réponse aux questions que je n’ai pas su résoudre, s’il vous plait ? Tout ce que vous pourrez me dire m’aiderait énormément. Merci à tous pour votre aide ou du moins pour avoir lu cet immense message. Bonne continuation à tous. P. S. : ce site est super bien !

[Chimerade]

Est-ce que quelqu’un peut me dire si je me suis trompée ou si il connaît la réponse aux questions que je n’ai pas su résoudre, s’il vous plait ?

Salut,

Bon on reprend pas à pas :
1) Il faut dès le départ faire intervenir la relation 60 = 2(x+y) que tu n'as fait intervenir que dans la question 5. On te demande d'exprimer R en fonction de y, tu l'as fait , PUIS en fonction de x, et ça tu ne l'as pas fait. Cela t'a permis d'oublier que y dépendait de x...ce qui a des conséquences plus loin.
En effet puisque 60 = 2(x+y), on a toujours y = 30 - x donc le R peut s'exprimer comme suit :



2) Il est exact que V(x) = R²x mais cela te fait "oublier" que R lui même dépend de x, comme la première question été censée te faire remarquer. Au lieu de R, il faut écrire ici l'expression donnant R en fonction de x :



Pour le 3) tu dois essayer cette formule pour diverses valeurs : x=9, x=10, x=11, puis x=9.9 x=10.1, et tu devrais observer que la valeur semble maximale pour x=10. Reste bien sûr à le démontrer.

4) Ta réponse à la question 4 est fausse, et ceci pour deux raisons.

Première raison : Même si R était constant (et on a vu que ce n'était pas le cas, mais supposons pour l'instant que R soit constant), tu observes que V(10) – V(x) >= 0 pour x=10, ce qui était correct (bien sûr, toujours dans l'hypothèse d'un R constant). Ce qui était faux était ta conclusion "Par conséquent, le volume du cylindre est maximal si x = 10". Tu viens de constater que pour x>10 le volume est plus grand que pour x=10 et tu conclues que le volume est maximal pour x=10 !!!! En fait une bonne conclusion aurait été que le volume n'est pas maximal pour x=10 !

Deuxième raison : Justement, R n'est pas constant et quand tu écris : V(10) – V(x) = (;)R²*10) – (;)R²x), les deux lettres R de cette formule n'ont pas la même valeur ! En appelant la valeur de R pour 10 et la valeur de R pour x, tu aurais dû écrire : et t'apercevoir ainsi que tu ne pouvais pas conclure sans connaître les valeurs de et en fonction de x.

Voici le bon raisonnement :











Ici, tu n'as peut-être pas le niveau nécessaire pour résoudre une telle équation, donc il faut user d'astuce. Puisque l'on t'a largement suggéré que le nombre 10 jouait un rôle particulier, il est souhaitable de vérifier si cette expression a pour facteur (x-10) ; et effectivement, c'est le cas.



Et on peut recommencer :





Or on sait que x varie entre 0 et 30. Il est clair que V(10)-V(x) est toujours négatif. Le volume est donc maximal pour x=10.

Dans ce cas y=30-x=20 et le rapport de la longueur à la largeur est donc 2.

[Metalleuse]

Tout d’abord, un énorme merci pour m’avoir aidé dans mon exercice. Cependant, il y a quelques points que je n’ai pas tout à fait compris :

1) Pourquoi doit-on écrire :



et non pas V(x) = R²x = (;)x(30-x)²) / 2;)

puisque vous avez marqué précédemment que



???

2) Pouvez-vous m’expliquer, s’il vous plait, comment est-ce que vous avez fait pour passer de

[

à



et de même pour passer de



à



Merci beaucoup pour votre aide, elle m’est d’un très grand secours.

[Chimerade]

1) Pourquoi doit-on écrire :



et non pas V(x) = R²x = (;)x(30-x)²) / 2;)

puisque vous avez marqué précédemment que



???

Bonne question ! C'est parce que je me suis trompé ! Navré pour cette erreur

Je reprends : donc, tu as raison,

Et donc

2) Pouvez-vous m’expliquer, s’il vous plait, comment est-ce que vous avez fait pour passer de

[

à



et de même pour passer de



à

Cela s'appelle une division de polynôme. Si tu soupçonnes un polynôme d'être divisible par un autre, par exemple, tu soupçonnes d'être divisible par

...alors tu peux écrire directement :



Comme le polynôme est du troisième degré à gauche, et que est du premier degré, tu peux voir tout de suite que le premier terme du polynôme que tu cherches est forcément



Maintenant tu vas chercher le terme suivant qui sera un terme en x, de la forme . En réfléchissant, tu peux voir que pour obtenir le terme il faut multiplier le terme par et le terme par x, et au total ça fera donc :



Tu vois donc que k doit être égal à



De même, pour le terme constant que j'appelle L, tu vois que les 900x du polynôme de gauche ne peuvent être obtenus que par le produit de -50x par -10 et par le produit de L par x donc :



D'où tu tires L=400

???

Si le polynôme était bien divisible par (x-10) alors cette égalité doit être vraie. Pour le savoir il suffit alors de vérifier que le produit des termes constants de droite est bien égal au terme constant de gauche.

Effectivement -4000 = -10 * 400

Donc c'est bon.

Avec la pratique, tu arriveras à faire cela directement sur le papier. Mais je comprends que si c'est la première fois que tu vois cela peut-être cela te paraît-il un peu trop compliqué. Je te propose alors une méthode plus simple.

Divisant du troisième degré par , du premier degré, tu cherches un polynôme du deuxième degré du type

Alors tu n'as qu'à écrire :



Ensuite, tu développes :



Si on veut que ce soit vrai, il faut que :

1 = a
-60 = b-10a
900 = c-10b
-4000 = -10c

De la première équation tu tires a=1
De la deuxième, tu déduis b=-60+10a=-50
De la troisième, tu déduis c=900+10b=900-500=400

Si ton hypothèse de divibilité du polynôme de départ est exacte, la quatrième équation doit être elle aussi vérifiée : effectivement

Si par contre le polynôme de départ n'était pas divisible par (x-10) alors tu constateras que la dernière équation n'est pas vérifiée.

[Metalleuse]

Je voudrais vraiment vous remercier pour toutes vos explications ainsi que pour la patience que vous avez eu pour les taper ! Je ne vous fait pas perdre plus de temps et vous souhaite une bonne continuation.

[julian]

Salut Chimerade!j'ai toujours utilisé la 2è méthode que tu as écrite pour pouvoir factorisé mais ton autre méthode me semble intéressante.Alors voilà j'ai quelques questiuons pour toi :id: :zen: :
Cette méthode est-elle plus pratique et plus rapide que l'autre une fosi qu'on la maîtrise aussi bien?
Une question plus "banale":pourquoi avoir choisi de factoriser par x-10?(même si tu as précisé :

"Puisque l'on t'a largement suggéré que le nombre 10 jouait un rôle particulier, il est souhaitable de vérifier si cette expression a pour facteur (x-10) ; et effectivement, c'est le cas.":

,je ne l'aurai pas forcément vu :marteau: :mur:)
:hein:
Amicalement.

[Chimerade]

Cette méthode est-elle plus pratique et plus rapide que l'autre une fosi qu'on la maîtrise aussi bien?

Bonjour,

Bonne question en effet. Qu'elle soit plus rapide, c'est l'évidence même. Plus pratique, ça je ne sais pas. Il est certain qu'il faut faire dans la tête tout ce que l'on a l'habitude de faire sur le papier. Mais comme tu l'as remarqué, je suppose, on n'a pas besoin de faire beaucoup de calcul mental dans ce cas (division par un binôme du premier degré), et en se concentrant on peut parvenir à le faire sans erreur. Reste à s'entraîner dans des exercices, avant de le faire vraiment en examen... Comme tu dis, il faut la maîtriser bien : donc faire des exercices au brouillon, suivis de la deuxième méthode pour vérifier à chaque fois, jusqu'à ce que l'on s'aperçoive que l'on ne fait plus d'erreurs...Je le fais couramment pour diviser par un trinôme du second degré, mais ça, c'est quand même plus dur... Il faut s'entraîner encore plus !!!

Une question plus "banale":pourquoi avoir choisi de factoriser par x-10?

Ca par contre c'était vraiment téléphoné. L'exercice met en avant le rôle de la valeur 10. Quand même ; si on te dit "Etudier le signe de V(10) - V(x). En déduire pour quelle valeur de x le volume du cylindre est maximal " tu n'as pas une petite idée ? Je pense que tu dois en avoir une !
Maintenant, je n'ai pas dit une chose que j'aurais pu dire. Il est évident que si P(x) est factorisable par (x-x0) alors P(x0)=0. Ce qui est moins évident, mais que tu a appris, ou que tu apprendras très bientôt, c'est que la réciproque est vraie : si P(x0)=0 alors le polynôme P(x) est divisible par (x-x0). Par conséquent, soupçonnant que P(x) est divisible par (x-10), j'ai d'abord vérifié que P(10)=0. Ensuite, j'étais sûr que je pouvais diviser P(x) par (x-10)...
Amicalement

[S@m]

Wow! C'est tout de suite plus clair...un gars de la classe de spé maths m'avait parler de cette méthode mais comme ça a l'oral ca m'était passé par une oreille et sortit par l'autre :++:je vois tout de suite l'interet en tout cas de l'appliquer, reste en effet a faire pas mal d'exos :zen:

[julian]

Merci Chimerade,je m'entrainerais alors peut-être dessus, à moins qu'on ne le voit.Sinon il me semblee avoir déjà vu que si P(x0)=0 alors le polynôme P(x) est divisible par (x-x0).Mais ej ne susi aps sûr.En tout cas merci bien. :++: