Problème concret récurrence

[bgirlfunky]

bonsoir, alors voila j'ai un exercice avec des récurrence, j'ai réussi la première partie mais la deuxième je la trouve plus compliquée, voici le sujet :
On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction f définie par f(x)=kx(1-x), k étant un paramètre qui dépend de l'environnement, k réel.
L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année n par un nombre réel Un.Par exemple, si pour l'année 0, il y a 300 000 coccinelles, on prendra Uo=0.3
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation Un+1=f(Un), f étant la fonction définie ci-dessus.

1) je l'ai déjà fait
2)on suppose ds cette question que Uo=0.3 et k=1.8
a)tracer le tableau de variations de la fonction f sur [0;1].
alors,j'ai trouvé que f(x)=1,8x-1,8x²
j'ai calculé la dérivée f'(x)=1,8*(1/x²) +1,8
sauf que j'arrive pas à faire le tableau de variation car sur ma calculatrice sur[0;1/2], f'(x)>0 et sur [1/2;1], f'(x)<0.pourtant avec la dérivée que j'ai obtenue, il n'y a rien en rapport avec 1/2. Je comprends pas, pourtant c'est une simple étude de fonction.

b)montrer par récurrence que pour tout entier n, 0<(ou égal)Un<(ou égal)Un+1<(ou égal)1/2.
j'ai commencé le raisonnement par récurrence facilement mais au moment de montrer que 0

[johnjohnjohn]

bonsoir, alors voila j'ai un exercice avec des récurrence, j'ai réussi la première partie mais la deuxième je la trouve plus compliquée, voici le sujet :
On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction f définie par f(x)=kx(1-x), k étant un paramètre qui dépend de l'environnement, k réel.
L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année n par un nombre réel Un.Par exemple, si pour l'année 0, il y a 300 000 coccinelles, on prendra Uo=0.3
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation Un+1=f(Un), f étant la fonction définie ci-dessus.

1) je l'ai déjà fait
2)on suppose ds cette question que Uo=0.3 et k=1.8
a)tracer le tableau de variations de la fonction f sur [0;1].
alors,j'ai trouvé que f(x)=1,8x-1,8x²
j'ai calculé la dérivée f'(x)=1,8*(1/x²) +1,8
sauf que j'arrive pas à faire le tableau de variation car sur ma calculatrice sur[0;1/2], f'(x)>0 et sur [1/2;1], f'(x)<0.pourtant avec la dérivée que j'ai obtenue, il n'y a rien en rapport avec 1/2. Je comprends pas, pourtant c'est une simple étude de fonction.

b)montrer par récurrence que pour tout entier n, 0<(ou égal)Un<(ou égal)Un+1<(ou égal)1/2.
j'ai commencé le raisonnement par récurrence facilement mais au moment de montrer que 0<Up+1<Up+2< 1/2, je n'y arrive pas.pouvez m'aider SVP ? merci d'avance. :help:

Tu es bien parti(e) de

pour aboutir à



Si c'est bien ce que tu as voulu écrire alors pour le calcul de la dérivée, on y est pas du tout.

Rappel si alors

[bgirlfunky]

désolé je me suis carrément trompée la dérivée c'est f'(x)=1,8-3,6x
vous pouvez m'aider pr la suite?

[johnjohnjohn]

désolé je me suis carrément trompée la dérivée c'est f'(x)=1,8-3,6x
vous pouvez m'aider pr la suite?

La suite ? 2a) Dresser le tableau de variations de la fonction.
Avec une dérivée aussi simple, ça ne devrait pas te poser problème non ? Si ??

f'(x)=1,8-3,6x=1.8 ( 1 - 2x )

J'ai quand même bon espoir que tu t'en sortes !

Sinon pour démontrer ton inégalité par récurrence ( 2b) ) , j'ai comme le sentiment qu'il va falloir que tu exploites le tableau de variations de ta fonction f.