Problème de comprehension sur les paradoxes de Russel

[Dastrial]

Bonjour à tous,
Alors, je viens de finir ma terminale, et je vais l'année prochaine en fac de math, j'essaie de prendre un peu d'avance sur le programme de l'an prochain, et il y a quelque chose qui m'échappe. Je vais certainement vous paraître idiot, mais pour résoudre un paradoxe de Russel (j'ai ici comme exemple S:={x|x /;)x} et si S;)S on en déduit que : S /;)S), on dit qu'un ensemble ne peut pas être définit par un énoncé avec variables donc S:={x|A(x)} ne définit pas un ensemble, on prends donc S:={x;)T|A(x)} (avec T un ensemble). Donc S est un sous-ensemble. Et le problème est résolu?? Mais pourquoi un sous ensemble ne pourrait-il pas appartenir à lui même?

[Ben314]

Salut,
La réponse est extrêmement compliqué (pour quelqu'un qui vient d'avoir le bac...)
En fait, il y a deux cas de figure :

1) Soit dans les axiomes de Zermelo Frankel (ZF) (ou d'autres...) dont tu part, tu met l'axiome de fondation et le problème est directement réglé vu que cet axiome implique qu'aucun ensemble ne peut s'appartenir à lui-même.

2) Soit tu ne le met pas et, dans ce cas, il peut exister des ensembles s'appartenant à eux mêmes, mais pour un ensemble donné, si on pose , l'hypothèse conduit à la contradiction donc on a forcément ce qui, vu la définition de , signifie que : est une partie de , mais n'est pas un élément de .

On en déduit simplement que ces ensemble particulier n'appartiennent pas à eux même, mais ça ne prouve pas qu'il n'existe aucun ensemble appartenant à lui-même.

Résumé : on touche là les fondement même des maths. : l'existence (ou pas) d'ensembles appartenant à eux même dépend des axiomes que l'on prend au départ...

[Dastrial]

Merci beaucoup pour tes explications, j'y vois beaucoup plus clair maintenant!