Problème de complexe

[elguardito]

Salut je suis en TS et j'ai un petit soucis avec un exo sur les complexes, c'est le flou total donc merci de bien vouloir me guider.
Soit E la transformation du plan qui a tout M d'affixe z, associe un point M' (distinct de A avec z(A)=-i) d'affixe z' tel que z'=(iz-2)/z+i
On me donne pour indication de dvper (z+i)² et ensuite factoriser z²+2iz-2
avant de me poser la question qui est : Déterminer l'ensemble F avec:
F l'ensemble des points M, tels que M' soit symétrique de M par rapport
à O.

Donc je fais l'indication et j'arrive à:
z²+2iz-2= (z+i)²-1

Ensuite pour la consigne, je la retranscris grâce à une égalité; j'arrive donc à:
arg(z')=arg(z)+pi
Mais là je ne vois pas comment transcrire sa.

Merci de bien vouloir m'aider.

J'oubliais:
j'ai aussi z(B)=-2i
et aussi z' peut s'écrire:
z'=(i(z-z(B)))/(z-z(A))

[annick]

Bonsoir,
Si M a pour affixe z et si M' est le symétrique de M par rapport à O, quelle est l'affixe de M'? (Fais une figure si tu ne vois pas )

[elguardito]

Euh je dirais -z

[annick]

Oui.
Donc tu as z'=-z et z'=(iz-2)/z+i

Donc tu dois résoudre :

-z=(iz-2)/z+i et si tu arranges tout cela tu retombes sur une des indications que l'on te donne.

[elguardito]

Oki merci :D. Je fais sa et je dis tout de suite si j'arrive à qlq chose.
Edit: Bon j'arrive bien à l'indication qui est z²+2iz-2
Je factorise:
(z+i)²=1
J'aurais été tenté de dire qu'il 'agit d'un cercle mais normalement l'équation est (x ;) a)2 + (y ;) b)2 = r2. Hors là je n'ai pas de y (le z faisant office de x)
Qlq'un peut m'aider svp?

[annick]

(z+i)²=1 se résoud en

z+i=1 et z+i=-1 soit z=1-i et z=-1-i, donc ton ensemble se résume à deux points

[elguardito]

Ah ok! Merci je ne voyais pas sa comme sa. Je n'avais pris en compte que la propriété de la symétrie et je ne tenais plus vraiment compte de l'égalité algébrique.
J'aurais encore une petite question:
On me demande de déterminer l'ensemble des point M tel que le module de z'=1
Donc j'ai tout d'abord mis z' sous une autre forme. Donc j'ai:
z'= (i(z-z(B))) / (z-z(A))
Ensuite comme le module d'un imaginaire pur yi est toujours égal à y, j'ai donc le module de i qui fait 1.
Ensuite j'ai le module de z' qui est égal au module de (z-z(B))/(z-z(A))
J'ai le module de z(A) qui est de -1 et celui de z(B) est de -2.
Mais comment déterminer celui de z pour arriver à mon ensemble de point?
Une équation peut-elle suffir?
voila mon équation 1= au module de (z+2)/(z+1)

[annick]

En fait, à partir de là (z-z(B))/(z-z(A))=1, il faut raisonner géométriquement :

module(z-zB)=MB
module(z-zA)=MA

donc MB/MA=1 soit MA=MB, donc M appartient à.....

[elguardito]

L'ensemble des points situés sur la médiatrice du segment AB car M est équidistant de A et de B.
C'est bien sa?

[annick]

Oui, tout-à-fait.
En fait, la méthode dans ce type de problème est toujours la même, c'est de jongler entre la partie analytique et la partie géométrique.

[elguardito]

Oki. Encore un grand merciiiiiiiiiiiii :D
Je trouve que c'est pas forcément évident surtout qu'à chaque fois je voulais tomber sur l'équation d'un cercle. Donc forcément j'étais à côté de la plaque.
Encore merciiii ;)

Edit: Je croyais en avoir fini avec mes questions mais il y a un dernier où je coince.
On me demande de calculer (z'-i)*(z+i) => les paranthèses veulent dire module.
Donc j'obtiens 1 là j'en suis sûr.
Par contre ensuite on me dit: montrer que si M reste sur le cercle de rayon 2 et de centre A(0;-1) alors M' reste sur un cercle. Bon d'après la figure que j'ai fait la propriété est bonne.
Mais on me demande de déterminer le centre et le rayon de ce second cercle.
J'ai d'abord calculer AM, j'obtiens que AM=2 et que le module est z+i
A mon avis il faut mettre en relation avec le début de la question mais comment?
merci d'avance à celles et ceux qui m'aideront

[elguardito]

Désolé pour le double post. Mais là je sèche total je vois pas du tout comment arriver à ma solution. Qlq'un peut-il m'aider?

[Sa Majesté]

Tu as montré que |z'-i| |z+i| = 1 et que si M reste sur le cercle de rayon 2 et de centre A(0;-1) alors |z+i| = 2
Tu peux en déduire |z'-i| lorsque M reste sur le cercle de rayon 2 et de centre A(0;-1) et donc que M' se balade sur un cercle dont tu peux déterminer le centre et le rayon

[elguardito]

Tu peux en déduire |z'-i| lorsque M reste sur le cercle de rayon 2 et de centre A(0;-1) et donc que M' se balade sur un cercle dont tu peux déterminer le centre et le rayon

Bah justement je sais qu'il faut faire sa. Mais je ne vois pas du tout comment :hein:

[Sa Majesté]

Quand tu sais que |z'-i| |z+i| = 1 et que |z+i| = 2
déduire |z'-i| n'est pas du niveau terminale ...

[elguardito]

Ah effectivement^^
Je voulais d'abord trouver le module de z' avant de trouver le module de z'-i
Merci de ton aide :D
Et faire comme je pensais, c'est à dire trouver le module de z' séparément c'est possible?

[Sa Majesté]

Non, il faut trouver |z'-i|

[elguardito]

Oui mais je n'avais pas compris sa au début, donc forcément sa aide pas^^.
Je cherché à tout pris à faire le module de z' séparé puisque je me disais que le module de -i fait -1 donc peut etre qu'après je pourrais retomber sur l'égalité du début de la question.
Donc au final le module fait 1/2, donc c'est le cercle de centre Y(0;1) et de rayon r=1/2
Je te remercie sincèrement pour ton aide parce que j'ai passé pas mal de temps dessus la nuit dernière.
Encore merci

[Sa Majesté]

Je suis là pour ça :lol4:
A+ :++: