Problème calcule Trigonométrie

[Martin1993]

Bonjour à tous.

J'ai un petit problème sur un calcule de trigonométrie. Je bloque dessus depuis tantôt. Voici l'énoncé:

Sans recourir à la calculatrice, calcule.

Tan 11.pi/12 (Je sais que la réponse est Racine de 3 - 2, mais je ne parviens pas à cette réponse).

Voici mon calcule (connaissant mon tableau de valeurs particulières) :

Tan 11.pi/12 = Tan 165 = Tan (60+45) + Tan 60

Connaissant la formule Tan (a+b) = tan a + tan b/ 1- tan a . tan b
Je remplace, ce qui me donne:

(tan 60 + tan 45/ 1- tan 60 . tan 45) + tan 60

= (Racine de 3 + 1/ 1- racine de 3.1) + Racine de 3

Je trouve comme réponse: -2 - racine de 3 + racine de 3. Ce qui n'est pas la même réponse que je suis censé trouver. Ce calcule me fait galérer depuis tantôt. C'est peut-être une simple erreur de distraction, je n'en sais rien car je sais que je peux être très distrait. Mais franchement je ne trouve pas mon erreur. Alors je vous en supplie, aidez-moi!

Merci d'avance.

Martin.

[Martin1993]

Personne pour m'aider?

[Ericovitchi]

Écrire que Tan (11pi/12) = Tan (2pi/3 + pi/4) est une très bonne idée
par contre écrire Tan 165 = Tan (60+45) + Tan 60 est faux car tu écris tan (a+b) = tan (a)+ tan (b) alors que tu dois appliquer la formule que tu as donnée :

(tan 2pi/3 + tan pi/4)/ (1- tan 2pi/3 . tan pi/4)

[Martin1993]

Oui mais comment je trouve tan 2pi/3 alors?
Parce que c'est égal à tan 120, hors 120 n'est pas dans mon tableau de valeurs particulières. J'ai 0° 30° 45° 60° et 90° (mais évidemment tan 90° est impossible).
Donc je ne sais pas comment faire.

[Ericovitchi]

tu regardes sur ton cercle trigo
Et si tu ne vois pas que tan (2 pi /3) c'est moins racine de 3, tu le calcules par sin (2 pi/3)/ cos (2pi/3)

sin (2pi/3) = racine 3 /2
cos (2pi/3)= -1/2

[Martin1993]

Je comprends pas très bien parce que même en faisant comme tu dis ==>

(tan 2pi/3 + tan pi/4)/ (1- tan 2pi/3 . tan pi/4)

la réponse ne sera de toutes façon pas racine de 3 -2

[Martin1993]

J'aimerai trouver le calcul qui puisse donné pour réponse racine de 3 - 2
car jusqu'à présent, j'ai beau faire de 100 manières différentes je n'arrive jamais à cette réponse finale.

[Ericovitchi]

Si on trouve bien racine de 3 -2
tu as dû faire des erreurs

Si tu me montres tes calculs, je te dirais où.
(As-tu pensé par multiplier par la quantité conjuguée du dénominateur ?)

[Martin1993]

Donc : (tan 2pi/3 + tan pi/4)/ (1- tan 2pi/3 . tan pi/4) =
(- racine de 3 + 1)/ (1- (- racine de 3) . 1) = Réponse pas correcte.

[Mayor]

Hum, et si tu regardais ce que Ericovitchi t'as dis?
Avec la multiplication de la quantité conjuguée, tu devrais plus en être loin... :we:

[Martin1993]

Euh, c'est quoi la quantité conjuguée? Désolé j'ai jamais appris ce terme.

[Ericovitchi]

la quantité conjuguée de c'est
en multipliant haut et bas par cette quantité on crée un (a+b)(a-b) qui supprime les racines en bas.

C'est une astuce très utile qui revient très souvent.

[Martin1993]

Oui ça me dis quelque chose. Mais alors j'applique ça comment dans mon calcule?

[Ericovitchi]

Fais quand même un minimum d'efforts
tu en es à

On te dis de multiplier haut et bas par

Alors fais le et calcules.

[Mayor]

C'est portant clair...
Regarde bien, zu dénominateur, tu as du . Multiplies alors haut et bas par ... Développe tes identités remarquables, réduit et tu trouves?

[oscar]

Bjr Pour suivre to idée

tg ( 2pi/3 +tgpi/4) =
(tg 2pi/3 + tg pi/4)/ ( 1 - tg 2pi/3* tg pi/4)
= ( -v3 +1)/ (1+ v3)
=(-v3+1) ( 1-v3) / ( 1-3)
= ( -v3+1)² /(-2)
=

[Martin1993]

Ben donc je fais:

1 - Racine de 3 . (1 - racine de 3) / 1+ racine de 3 . (1 - racine de 3)

?

[Mayor]

C'est ça...

[Martin1993]

Ok merci à tous! J'ai compris finalement. Je comprenais pas bien comment m'y prendre avec la quantité conjuguée mais Oscar à fait les calculs et j'ai compris comment l'appliqué. Enfait c'est un peu comme si je repoussais la racine du dessous.
J'ai vérifié, celà fait bien racine de 3 - 2
Merci beaucoup! :)

[Mayor]

C'est exactement ça, la quantité conjuguée sert à éliminer les racines au dénominateur, tout simplement. Souviens-toi en, ça sert très très souvent...

Bonne soirée.